- Oggetto:
- Oggetto:
Istituzioni di Algebra
- Oggetto:
ELEMENTS OF ALGEBRA
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- MAT0198
- Docenti
- Yu Chen (Titolare)
Lea Terracini (Titolare) - Corso di studio
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno, 2° anno
- Periodo
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto e Orale
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende a presentare i concetti e metodi fondamentali per lo studio delle strutture algebriche includendo la teoria di Galois, le costruzioni degli anelli e rappresentazioni dei gruppi, che si trovano applicazioni in vari ambiti della matematica. Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento intende contribuire a sviluppare negli studenti capacità di astrazione e ragionamento, una flessibilità mentale utile ad affrontare lo studio di problemi complessi, favorire il lavoro di gruppo e l'approfondimento personale, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.
This course is to present the fundamental concepts and methods for the study of algebraic structures such as Galois theory, the construtions of rings and the representation theory, which has applications in various parts of the mathematics. Accordingly to the aims of training of the Study Course provided by the SUA-CdS form, the course aims to help the students to develop abstraction and reasoning skills, a mental flexibility useful in studying complex problems, to encourage the teamwork and the personal deepening, first stage for achieving autonomy in tackling new problems.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Teoria fondamentale dei campi, dei moduli e anelli, nonche' delle reppresentazioni dei gruppi.
The fundamental theories of modern algebraic structures such as fields, modules and rings as well as the representations of groups
- Oggetto:
Programma
Struttura dei campi e teoria di Galois. Estensioni algebriche e trascendenti. Campo generato da un insieme di numeri. Estensioni semplici. Isomorfismi. La corrispondenza di Galois. Estensioni di Galois. Estensioni ciclotomiche. Estensioni radicali. Traccia, norma, discriminante. Risolubilità per radicali: il teorema di Abel-Ruffini. Le equazioni di terzo e quarto grado. Cenni alla teoria di Galois astratta.
Rappresentazioni dei gruppi finiti. Algebra gruppo. Carattere delle rappresentazione. Rappresentazioni irriducibili. Decomponibilità e riducibilità completa delle rappresentazioni. Rappresentazioni indotte. Proprietà di ortogonalità dei caratteri. Rappresentazioni indotte. Reciprocità di Frobenius. Rappresentazioni dei gruppi compatti. Rappresentazioni dei gruppi Lie e dei gruppi algebrici
Costruzioni e decomposizioni degl'anelli, dei moduli e dell'algebre. Prodotto tensoriale dei moduli e dell'algebre. Radicali di Jacobson e radicale nilpotente. Algebre centrali semisemplici. Il Teorema di Wedderburn e le applicazioni sulle rappresentazioni dei gruppi. Anelli primitivi e semiprimitivi, teorema di densità di Jacobson.
Classificazione delle forme bilineari simmetriche e antisimmetriche.
The structure of fields and Galois theory. Algebraic and transcendental extensions. Field generated by a set of numbers. Simple extensions. Isomorphisms. Galois correspondence. Galois extensions. Cyclotomic extensions. Radical extensions. Trace, norm, discriminant. Solvability buy radicals: Abel-Ruffini theorem. The equations of degree 3 and 4. Some mention to abstract Galois theory.
The Representations of finite groups. Group algebra. Character of a representation. Irreducible and completely reducible representations. Orthogonality of characters. Induced representations. Frobenius reciprocity. Representations of compact groups. Representations of Lie groups and of algebraic groups.
Constructions and decompositions of rings, modules and algebras. Tensor products of modules. Jacobson radicals and nilpotent radicals. Wedderburn’s theorem on semisimple central algebras and its applications to representation theory. Primitive and semiprimitive rings, Jacobson Density theorem.
Classification of symmetric and antisymmetric bilinear forms.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, in lezioni svolte alla lavagna e della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi.
Link all'orario delle lezioni
https://unito.prod.up.cineca.it/calendarioPubblico/linkCalendarioId=62d954f7431f7c13271e8150
The course consists of 48 teaching hours in class room and the streaming is allowed only for exceptional cases. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Lectures focus mostly on theory with a minor part of exercises.The link to the time table for the lectures
https://unito.prod.up.cineca.it/calendarioPubblico/linkCalendarioId=62d954f7431f7c13271e8150
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esami scritti e orale: La prova scritta è costituita da esercizi assegnati durante le lezioni; La prova orale consiste in domande relative alle teorie presentate nel programma del corso, nonchè nella discussione gli esercizi svolti durante le lezioni. Il voto finale è espresso in trentesimi.Students must take both written and oral examinations: The written exam consists of exercises assigned during the course, while the oral exam consists of theoretical questions related to the program of the course as well as a discussion on the exercises. The final grade is expressed on a scale of 30.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Algebra
- Anno pubblicazione:
- 2002
- Editore:
- Springer-Verlag
- Autore:
- S. Long
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
1. N.Jacobson, Basic Algebra, vol I & II, W.H.Freeman and Campany, 1985
2. S.Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2002
3. L.H.Rowen, Ring theory, Academic Press INC, 1991
4. J.Alperin, R.Bell, Groups and Representaions, GTM 162, Springer- Verlag, 1995
5. W.Fulton, J.Harris, Representaion Theory, GTM 129, Springer-Verlag, 1991
6. C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli 1977
7. J.S. Milne, Fields and Galois theory, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
1. N.Jacobson, Basic Algebra, vol I & II, W.H.Freeman and Campany, 1985
2. S.Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2002
3. L.H.Rowen, Ring theory, Academic Press INC, 1991
4. J.Alperin, R.Bell, Groups and Representaions, GTM 162, Springer- Verlag, 1995
5. W.Fulton, J.Harris, Representaion Theory, GTM 129, Springer-Verlag, 1991
6. C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli 1977
7. J.S. Milne, Fields and Galois theory, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
- Oggetto:
Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
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