- Oggetto:
- Oggetto:
Teoria degli Anelli Commutativi
- Oggetto:
Commutative Rings
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- MAT0224
- Docenti
- Cristina Bertone (Titolare)
Andrea Mori (Titolare) - Corso di studio
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno, 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Inglese
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Prerequisiti
-
I contenuti dell'insegnamento di Algebra 1, in particolare: linguaggio degli insiemi, teoria degli anelli e teoria dei gruppi.The contents of the course Algebra 1, in particular: sets, rings and groups.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende introdurre lo studente alla teoria dei moduli e degli anelli commutativi in una forma del tutto generale, ma con particolare attenzione ai casi di maggior interesse geometrico ed applicativo relativi alle k-algebre ottenute per quoziente o localizzazione da anelli di polinomi a coefficienti su un campo. Attraverso l'assegnazione di esercizi teorici si intende non solo sviluppare la padronanza dei concetti acquisiti nell'insegnamento, ma anche migliorare la capacità di soluzione di problemi e di elaborazione autonoma di dimostrazioni e congetture, oltre che stimolare al confronto e alla collaborazione. L'ampia letteratura suggerita (quasi tutta in lingua inglese) favorirà l'iniziativa individuale di approfondimento, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche.The course is intended to introduce the student to the theory of modules and commutative rings in a general setting but with a particular focus on the most interesting cases and geometric applications with respect to k-algebras obtained as quotients or localizations from polynomial rings with coefficients on a filed k. By means of the periodical assignment of exercises we are meant not only to develop the mastery of concepts acquired in teaching, but also improve the ability to solve problems and to conceive independent demonstrations and conjectures, as well as to stimulate discussion and collaboration. The extensive literature suggested (almost entirely in English) will encourage the individual initiative for further study, the first step to achieve autonomy in dealing with new issues.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di: prodotto tensoriale, noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un anello. Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.To know and understand the fallout of the following concepts: tensor product, noetherianity, primary decomposition, spectrum of a ring. To work with ideals in concrete rings such as polynomial rings and their quotients and localizations.- Oggetto:
Programma
Richiami su anelli commutativi. Elementi invertibili, zero-divisori, nilpotenti.
Ideali e anelli quoziente. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi, massimali e minimali. Nilradicale e radicale di Jacobson.Anelli locali e localizzazione. Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria degli ideali in generale e nel caso noetheriano.
Teoria dei moduli su un anello. Prodotto tensoriale di moduli. Successioni esatte di moduli e proprietà di esattezza di Hom e del prodotto tensoriale.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going up e Going down.Anelli artiniani e graduati. Elementi di teoria della dimensione.
Special elements in commutative rings: units, zero-divisors, nilpotents.Ideals and quotients of a ring. Sum, product, intersection, radical of ideals. Extended and contracted ideals. Prime, maximal and minimal ideals, nilradical and Jacobson radical.
Local rings and localization. Noetherian rings and modules. Hilbert Basissatz. Primary decomposition, especially in Noetherian rings.
Module theory over a ring. Tensor product of modules. Exact sequences of modules and exactness of Hom and tensor product.
Integral elements over a ring. Noether normalizazion Lemma and Hilbert's Nullstellensatz. Normal rings. Going-up and Going-down.Artinian and graded rings. Generalities about the dimension of a ring.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni frontali della durata di 48 ore complessive (6 CFU).Lectures for 48 hours in total (6 credits), which will take place in the classroom.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova consisterà in un colloquio orale in cui lo studente svolgerà e discuterà alcuni esercizi assegnati in precedenza. La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi) se lo studente dimostrerà padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento, mostrando di saper motivare ed approfondire le strategie risolutive adottate e la teoria soggiacente.The exam will consist of an oral discussion in which the students will expose the resolution of some exercises, previously assigned. The preparation will be considered adequate (and marked by a 30-point scale) if the student will demonstrate mastery of terminology and technical specifications of this teaching, showing motivate and deepen resolution strategies and the underlying theory.- Oggetto:
Attività di supporto
Eventuale materiale integrativo sarà messo a disposizione sulla pagina Moodle del corso.Some extra material might be given on the Moodle webpage.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- - M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969).
- R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society, 1990
- F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules. Second edition.
Graduate Texts in Mathematics, 13. Springer-Verlag, New York, 1992.- A. Orsatti, Introduzione alla teoria dei moduli, Aracne editrice, Roma, 2002.
- M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969).- R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society, 1990
- F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules. Second edition.
Graduate Texts in Mathematics, 13. Springer-Verlag, New York, 1992.
- A. Orsatti, Introduzione alla teoria dei moduli, Aracne editrice, Roma, 2002. - Oggetto:
Note
L'insegnamento non era attivo nel 2020/2021 e nel 2021/2022
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Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
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