Analisi Armonica e di Fourier

 

Harmonic and Fourier Analysis

 

Anno accademico 2017/2018

Codice attività didattica
MFN0419
Docenti
Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso)
Prof. Alessandro Oliaro (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Derivazione ed integrazione, topologia elementare, cenni su spazi di funzioni ed operatori.
 
 

Obiettivi formativi

  • Italiano
  • English
Lo scopo del corso e quello di mostrare come due strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica e delle sue applicazioni, quali serie e trasformata di Fourier, trovino una elegante unificazione concettuale nell'ambito dell'Analisi Armonica astratta. Le competenze da acquisire riguardano l'apprendimento e l'utilizzo di specifiche tecniche di Analisi Armonica.

Il corso introduce gli strumenti fondamentali della moderna Analisi Armonica e di Fourier da un punto di vista generale. In particolare il corso si sviluppa su tre livelli: analisi di Fourier in R^d, analisi armonica in L^1(G) con G gruppo topologico LCA ed infine introduzione alla teoria spettrale delle algebre di Banach commutative. La comprensione complessiva degli argomenti richiede e sviluppa varie competenze specifiche di analisi funzionale, algebra e topologia.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studi previsti dalla scheda SUA-CdS, la preparazione all'esame come anche le discussioni durante il corso richiedono e stimolano lo sviluppo di capacità comunicative e di descrizione precisa di oggetti ed idee astratte, come anche la ricerca di possibili soluzioni e/o variazioni riguardo alle problematiche trattate.

Il corso fornisce un esempio di "costruzione di teoria matematica" (la teoria della traformata di Gelfand su algebre di Banach commutative) che sia sufficientemente generale per includere i casi particolari piu' signifcativi ed al contempo sufficientemente ricca e profonda per poter interpretare l'essenza degli oggetti di cui tratta. La capacita' di comprensione di questi due aspetti contrastanti, unita alla capacita' di apprendimento dei dettagli "tecnici" della costruzione stessa, costituisce un elemento indispensabile allo sviluppo di una matura mentalita' matematica.

Il corso si inserisce in modo naturale nell'ambito di una formazione di tipo analitico. Le tematiche trattate relative ad algebre di Banach e gruppi LCA costituiscono tuttavia argomenti di interesse anche per indirizzi di tipo algebrico-geometrico. Inoltre poiche' gran parte degli argomenti trattati formano la base della teoria dei segnali, il corso può essere utilmente inserito anche nell'ambito di indirizzi di carattere applicativo-modellistico.

 

Risultati dell'apprendimento attesi

  • italiano
  • English
Il corso porta all'apprendimento critico degli strumenti, degli oggetti matematici e dei metodi usualmente utilizzati nell'Analisi Armonica e di Fourier. Una buona assimilazione di questi concetti permette allo studente di comprendere ed affrontare varie problematiche relative agli attuali sviluppi del settore anche in connessione con altri settori della matematica quali ad esempio l'analisi armonica non commutativa, la teoria delle algebre di operatori e, da lato piu' applicativo, l'analisi tempo-frequenza di segnali.

 

Programma

  • Italiano
  • English

-       Algebre di Banach, Trasformata di Gelfand;

-       Gruppi localmente compatti abeliani (LCA); Duale di un gruppo LCA, Trasformata di Fourier su gruppi LCA.

-       Serie e trasformata di Foureir in R^d;  "Buoni  Nuclei";  funzione di Weierstrass;  fenomeno di Gibbs

 

Modalità di insegnamento

  • Italiano
  • English
L'insegnamento è svolto tramite lezioni frontali in cui notevole peso assume la componente interattiva tra docente e studenti.

 

 

Modalità di verifica dell'apprendimento

  • Italiano
  • English
Prova orale: La prova orale consiste in domande relative alla teoria generale, enunciati, dimostrazioni ed esempi presentati nel corso. Non e' richiesto lo svolgimento di esercizi. E' possibile sostenere l'esame in inglese.

 

Testi consigliati e bibliografia

  • Italiano
  • English
- G. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press 1995.

- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, Wiley 1990

 

 

Note

Modalità di verifica/esame: L'esame consiste di un colloquio orale sugli argomenti svolti a lezione. NOTA: verranno concordate le date d'esame per mail individualmente, entro le sessioni d'esami, indipendentemente dal calendario ufficiale .

 
Registrazione
  • Aperta
     
    Ultimo aggiornamento: 16/03/2018 11:20
    Campusnet Unito

    Non cliccare qui!