- Oggetto:
- Oggetto:
Complementi di Logica
- Oggetto:
Topics in Mathematical Logic
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- MAT0184
- Docenti
- Eduardo Duenez (Titolare)
Julien Melleray (Titolare) - Corso di studio
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno, 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/01 - logica matematica
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Inglese
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Nozioni e risultati elementari in topologia, analisi, teoria degli gruppi (in particolare azione di gruppo, gruppo quoziente) e logica matematica (formule, ordinali e cardinali, induzione transfinita).
Basic notions and results in topology, analysis, group theory (in particular group actions, quotient groups), and mathematical logic (formulas, ordinals and cardinals, transfinite induction).
- Oggetto:
Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di presentare due interazioni tra la logica e altre aree della matematica.
La prima parte del corso (le prime 24 ore) saranno dedicate alle dinamiche topologiche dei gruppi polacchi, mentre la seconda (le ultime 24 ore) tratteranno di analisi funzionale, e più particolarmente della teoria degli spazi di Hilbert e di Banach.
Questo insegnamento si colloca naturalmente entro i percorsi di Logica Matematica, ma viste le numerose interazioni con altre parti della matematica può essere di utile complemento anche nei percorsi di Analisi Matematica.
The course presents two interactions between logic and other areas of mathematics.
The first part of the course (first 24 hours) will be about the topological dynamics of Polish groups. The second (last 24 hours) will cover some functional analysis, specifically Hilbert space theory and Banach space theory.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà essere in grado di mostrare padronanza tecnica degli aspetti di base dei vari argomenti trattati.
The student will have to show his capability of mastering the basic aspects and techniques related to the topics presented in class.
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Programma
Per la prima parte sulle dinamiche topologiche dei gruppi polacchi:
- Gruppi polacchi: esempi, teoria generale e linee di divisione.
- Interazione con la logica e la logica continua: gruppi polacchi come gruppi di automorfismi di strutture numerabili del primo ordine e strutture metriche separabili.
- Alcuni strumenti di base della teoria descrittiva degli insiemi nel contesto dei gruppi polacchi, contrasti tra i casi localmente compatti e non localmente compatti.
- Alcuni aspetti delle azioni del gruppo polacco su spazi compatti. Gli argomenti potrebbero includere la compattificazione di Samuel e il flusso minimo universale (e il suo calcolo in alcuni casi, così come l'interazione con la teoria di Ramsey), estensioni prossimali dei flussi e combinatoria descrittiva (sia in ambito topologico che Borel).
Per la seconda parte sull'analisi funzionale:
- Spazi di Hilbert, spazi di Banach e loro operatori lineari;
- Spazi di funzioni misurabili (compresi i classici spazi ℓ_p e L_p);
- I teoremi di Banach-Steinhaus, Hahn-Banach e Open Mapping;
- Risultati della rappresentazione (teoremi di Riesz e Banach-Mazur);
- Risultati di compattezza (Arzelà-Ascoli e Teorema di Alaouglu);
- Separabilità, riflessività e stabilità alla Krivine.
- Tempo permettendo, discuteremo il punto di vista della logica continua delle strutture di Banach e la Congettura di Gowers sulle norme di Banach “non patologiche”.
For the first part on the topological dynamics of Polish groups:- Polish groups: examples, general theory, and dividing lines.
- Interplay with logic and continuous logic: Polish groups as automorphism groups of countable first-order structures and separable metric structures.
- Some basic tools of descriptive set theory in the context of Polish groups contrast the locally compact and non-locally compact cases.
- Some aspects of Polish group actions on compact spaces. Topics could include the Samuel compactification and universal minimal flow (and its computation in some cases, as well as the interaction with Ramsey theory), proximal extensions of flows, and descriptive combinatorics (both in the topological and Borel settings).
For the second part on functional analysis:- Hilbert spaces, Banach spaces, and their linear operators;
- Spaces of measurable functions (including classical ℓ_p and L_p spaces);
- The Banach-Steinhaus, Hahn-Banach and Open Mapping theorems;
- Representation results (theorems of Riesz and Banach-Mazur);
- Compactness results (Arzelà-Ascoli and Alaouglu's Theorem);
- Separability, reflexivity, and stability à la Krivine.
- Time permitting, we will discuss the continuous-logic viewpoint of Banach structures and Gowers' Conjecture on “non-pathological” Banach norms.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento sarà erogato in presenza con lezioni frontali in aula (48 ore, corrispondenti a 6 CFU). Occasionalmente potranno essere assegnati esercizi da svolgere a casa come complemento alle lezioni. La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata.
The course will be held in person with standard lectures in classroom (48 hours, which correspond to 6 CFU). Occasionally, some homeworks may be assigned as complement to the lessons. Attendance is not mandatory but strongly recommended.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
Vi sono due modalità possibili, a scelta dello studente:
1) Consegna e valutazione degli esercizi assegnati durante il corso (consigliato).
2) Prova orale in uno degli appelli dopo il termine del corso. La prova orale consisterà in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate a lezione e in domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.
Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese. Il voto è espresso in trentesimi.
The students can choose between two options:
1) Evaluation of the student's solution to the exercises assigned in class.
2) Oral exam in one of the sessions after the end of the lectures. The oral exam consists of questions concerning the theory and the proofs presented in the lectures and in questions asking to solve some exercises.
Foreign students are guaranteed the opportunity to take the exam in English. Grades are out of 30.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Classical Descriptive Set Theory
- Anno pubblicazione:
- 1995
- Editore:
- Springer-Verlag
- Autore:
- A. Kechris
- ISBN
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Invariant Descriptive Set Theory
- Anno pubblicazione:
- 2009
- Editore:
- Chapman & Hall
- Autore:
- Su Gao
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Dynamics of Infinite Dimensional Groups
- Anno pubblicazione:
- 2006
- Editore:
- American Mathematical Society, Providence, RI
- Autore:
- Valdimir Pestov
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Note del docente per la prima parte.
Lecture notes for the first part.
- Oggetto:
Note
Le lezioni saranno tenute in inglese, ciascuna parte da un professore invitato.
The lectures will be held in English, each part by a different visiting professor.
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Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
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