Laurea magistrale in Matematica

Calcolo e Analisi matematica in una e più variabili. Elementi di topologia. Equazioni differenziali ordinarie. Un corso introduttivo alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, previsti dalla scheda SUA-CdS, questo insegnamento introduce alla teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali e degli operatori fra questi, con una particolare attenzione agli spazi vettoriali normati, alle loro proprietà di completezza e compattezza, e alle diverse topologie non equivalenti. Le applicazioni di questa teoria riguardano principalmente gli spazi di funzioni continue, differenziabili o integrabili, e gli operatori differenziali ed integrali fra queste. Nel corso si introducono gli strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica moderna, aprendo la strada allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, al calcolo delle variazioni e all'analisi di Fourier. È un insegnamento di interesse teorico in sé, ed è fondamentale per molti campi della matematica applicata, in particolare per la Probabilità e l'Analisi Numerica. 

Gli/Le studenti/studentesse dovranno confrontarsi con il fatto che, negli spazi infinito-dimensionali,

• gli insiemi chiusi e limitati non sono sempre compatti,
• le applicazioni lineari non sono sempre continue,
• le funzioni continue sui chiusi e limitati non hanno sempre minimo e massimo,
• gli operatori lineari iniettivi da uno spazio in sé possono non essere suriettivi (e viceversa).

Inoltre, gli/le studenti/studentesse dovranno confrontarsi con la nozione di derivata nel senso delle distribuzioni, più generale di quella in senso classico ed importante strumento nella moderna teoria delle equazioni alle derivate parziali. 

Alla fine dell'insegnamento, gli/le studenti/studentesse avranno elaborato degli strumenti fondamentali per estendere la teoria lineare anche agli spazi infinito-dimensionale e saranno pronti ad affrontare la geometrizzazione dell'Analisi Matematica.

Geometria e topologia degli spazi di dimensione infinita. Compattezza e teorema di Ascoli Arzelà. Spazi di Banach e di Hilbert. Topologie forte e debole. Riflessività, separabilità. Spazi L^p. Teoremi di Baire. Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale. Operatori lineari continui. Operatori autoggiunti.  Autovalori di operatori autoaggiunti compatti. Operatori integro-differenziali. Operatori di Fredholm. Distribuzioni. Trasformata di Fourier in L¹ e L².

Programma dettagliato

L'esame consiste in una prova scritta e un'eventuale prova orale, che può essere richiesto dal/la candidato/a o dalla commissione. La prova scritta consiste di domande sulle definizioni principali, sugli enunciati dei teoremi, sulle loro dimostrazioni ed applicazioni, così come di esercizi simili a quelli discussi a lezione. Non si possono utilizzare strumenti digitali né si possono consultare libri, quaderni, appunti, etc. Ulteriori dettagli sulla prova scritta (durata, esempio di prova, etc.) sono riportati sulla pagina moodle del corso. L'eventuale orale consiste in una discussione dello scritto e nell'esposizione di qualche argomento del programma, a scelta del docente. Il voto dello scritto è espresso in trentesimi. Lo scritto si intende superato con un voto non inferiore a 18/30. Lo scritto vale solo per la sessione corrispondente. Chi non supera lo scritto deve rifare l'esame. Per chi supera lo scritto, la parte orale può essere svolta su richiesta del/la candidato/a o della commissione. Se né la commissione né il/la candidato/a chiede di svolgere l'orale, si intende che il voto finale è quello della parte scritta. L'esame è uguale per studenti/studentesse frequentanti e non. Gli/le studenti/studentesse stranieri/e possono sostenere l'esame in inglese.