Laurea magistrale in Matematica

Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di Istituzioni di Analisi Matematica e nel terzo modulo del corso di Analisi superiore.

Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti e alle studentesse gli strumenti matematici noti come “metodi variazionali”, utili per la corretta impostazione di problemi di minimizzazione e ottimizzazione o di alcune classi di equazioni alle derivate parziali con opportune condizioni al bordo. Verrà mostrata e discussa l’efficacia dell’approccio variazionale nella modellizzazione, formalizzazione e risoluzione di vari problemi di natura molto diversa, sia applicativi, in particolare di ambito fisico, sia tratti dalla geometria differenziale. Verranno inoltre presentate alcune tecniche e strumenti della teoria delle equazioni alle derivate parziali (principio del massimo, metodo dei piani mobili).

Questo insegnamento si colloca naturalmente nel campo dell'Analisi non lineare e si inserisce bene in molti percorsi di Analisi Matematica, sia monotematici, sia interdisciplinari. Trattando anche di questioni inerenti problemi di natura geometrica e di meccanica quantistica, può essere di utile complemento anche in percorsi di Geometria (Riemanniana in particolare) o di Fisica Matematica. 

L'insegnamento è proposto anche agli studenti della Scuola di Dottorato in Matematica Pura e Applicata dell'Università e del Politecnico di Torino.

Conoscenza dei principi generali del calcolo delle variazioni e della teoria dei punti critici, in particolare il metodo diretto e il principio di minimax. Capacità di impostare in modo rigoroso un tipico problema di minimizzazione (setting funzionale, energia) e di individuare le caratteristiche e le difficoltà del problema. Capacità di applicare la teoria generale ad alcuni problemi specifici. Conoscenza di alcune tecniche e strumenti della teoria delle equazioni alle derivate parziali.

Il problema dell'estensione armonica via principio di Dirichlet. Lemma di regolarità di Caccioppoli-Weyl. Funzionali integrali: condizioni di Carathéodory, buona positura dei funzionali e loro continuità negli spazi L^p. Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per funzionali convessi e coercivi in spazi di Sobolev riflessivi. Derivabilità direzionale dei funzionali integrali. Equazioni di Eulero-Lagrange (forma integrale e forma differenziale). Problema delle geodetiche. Problema di Plateau. Simmetrizzazione di Schwarz. Disuguaglianza di Polya-Szegö. Disuguaglianza di Faber-Krahn. Principi del massimo e lemma di Hopf. Simmetria radiale di soluzioni positive di problemi ellittici sulla palla con condizioni nulle al bordo (metodo dei piani mobili). Problemi ellittici asintoticamente lineari e semilineari: esistenza di soluzioni via minimizzazione vincolata, teorema del passo montano, teorema del punto di sella. Identità di Pohozaev e risultati di non esistenza. Problemi con perdita di compattezza: equazioni di Schrödinger non lineari, problemi ellittici a crescita critica.

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La frequenza è facoltativa ma consigliata. 

ATTENZIONE! Il corso inizierà dopo il terzo modulo di Analisi Superiore, la cui frequenza è fortemente consigliata perché in tale modulo vengono presentati argomenti essenziali per poter seguire efficacemente le lezioni del corso di Metodi variazionali. 

Alcune videolezioni e note manoscritte delle lezioni di anni precedenti sono disponibili sulla pagina moodle del corso.

L’esame è una prova orale consistente nell’esposizione di argomenti richiesti dal docente tra quelli elencati nel programma. Non sono previsti esercizi. È possibile sostenere l'esame in inglese. Il voto è in trentesimi.