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Complementi di Geometria

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Topics in Geometry

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0183
Docente
Dott. Luciano Mari (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Nozioni di base sulle varietà differenziabili.

Basic notions on smooth manifolds.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base su gruppi di Lie, algebre di Lie e loro rappresentazioni,  prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: la geometria differenziale, la fisica matematica e teoria delle rappresentazioni.

The course aims to provide  to the  students  the basic concepts of Lie groups, paying particular attention to the examples. These  concepts are preparatory to different topics, such as: differential geometry,  mathematical physics and representation  theory.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:

conoscere le proprietà fondamentali dei gruppi  di Lie  e algebre di Lie;

saper risolvere esercizi su esempi significativi.

At the end of the course the student is expected to:

learn   the fundamental  properties of  Lie groups;

be able to solve  exercises   on significant examples.

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Programma

Gruppi di Lie e spazi omogenei. Teoremi di Lie e Engel per algebre di Lie nilpotenti e risolubili. Algebre di Lie semisemplici. Criterio per la semisimplicità. Decomposizione semisemplice di Levi di un'algebra di Lie nel suo radicale e fattore semisemplice. Struttura dei gruppi complessi classici: toro massimale, radici, rappresentazione aggiunta, gruppo di Weyl. Teoria dei pesi massimali per rappresentazioni di algebre di Lie semisemplici.

 



Lie groups and homogeneous spaces.  Lie and Engel theorems for nilpotent and solvable   Lie algebras.   Semisimple Lie algebras.    Criteria for teh semisimplicity.  Levi semisimple decomposition  in its radical  and semisimple factor.   Structure of  classical complex groups:maximal torus, roots, adjoint representation,   Weyl group.   Theory of maximal weights for representations of semisimple Lie algebras.  

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Modalità di insegnamento



L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa.

 


The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova orale consiste nello svolgimento di esercizi, in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.  La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se lo studente dimostrerà padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese. 



The Oral exam consists in solving exercises, in questions about theory and proofs presented in the course. The preparation will be considered adequate (and marked by a 30-point scale), if the student will demonstrate mastery of terminology and of the specific techniques of this teaching. Foreign students are allowed to take the exam in English.  

Testi consigliati e bibliografia

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J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.

A.W.Knapp, Lie groups and Lie algebras beyond an introduction, Birkhauser.



J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.

A.W.Knapp, Lie groups and Lie algebras beyond an introduction, Birkhauser.



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Note

Il programma del corso, a seconda dell'anno accademico, verterà su uno dei seguenti tre argomenti:

1 - Geometria Complessa: Richiami di analisi complessa, varietà complesse, varietà analitiche ed algebriche e varietà proiettive. Fasci, fasci coerenti e coomologia di fasci. GAGA dualità. Richiami su superfici di Riemann compatte. Applicazione dei metodi suddetti.

 2 - Gruppi di Lie: Gruppi di Lie e spazi omogenei. Teoremi di Lie e Engel per algebre di Lie nilpotenti e risolubili. Algebre di Lie semisemplici. Criterio per la semisimplicità. Decomposizione semisemplice di Levi di un'algebra di Lie nel suo radicale e fattore semisemplice. Struttura dei gruppi complessi classici: toro massimale, radici, rappresentazione aggiunta, gruppo di Weyl. Teoria dei pesi massimali per rappresentazioni di algebre di Lie semisemplici.

3 - Geometria Computazionale: Basi di Groebner

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 15:23