Laurea magistrale in Matematica

L'insegnamento si propone di fornire le nozioni base su gruppi di Lie, algebre di Lie e loro rappresentazioni,  prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: la geometria differenziale, la fisica matematica e teoria delle rappresentazioni.

Al termine dell'insegnamento si dovrà:

conoscere le proprietà fondamentali dei gruppi  di Lie  e algebre di Lie;

saper risolvere esercizi su esempi significativi.

Gruppi di Lie: topologia, sottogruppi di Lie, esempi.

Azioni di gruppi di Lie, il teorema della varietà quoziente, applicazioni.

Algebre di Lie: esempi e proprietà di base

Mappa esponenziale, teorema del sottogruppo chiuso di Cartan ed applicazioni.

Gli omomorfismi Ad ed ad.

Forma di Maurer-Cartan ed equationi di struttura.

Teorema fondamentale del calcolo nonabeliano (TFC) e teoremi di Lie. Applicazioni.

TFC (versione locale). Sviluppo di cammini, monodromia e TFC in versione globale.

Rappresentazioni di gruppi ed algebre di Lie. Rappresentazioni irriducibilie sottospazi invarianti. Completa riducibilità. 

Classificazione rappresentazioni di su(2), e loro sollevamento a rappresentazioni di SO(3). 

Classificazione rappresentazioni di su(3). Sottoalgebra di Cartan, pesi e radici, Teorema del peso massimo, gruppo di Weyl.

Algebre di Lie riduttive e semisemplici, totale riducibilità.

Algebre di Lie nilpotenti e risolubili, teoremi di Engel e Lie. Legame con le rappresentazioni.

Teorema di struttura di Levi-Malcev. 

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Il corso si svolgerà in presenza, e lo streaming è una scelta opzionale del docente;
La possibilità di didattica a distanza sarà valutata dipendendo dalla situazione Covid. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa o in classe, che entreranno in sede di valutazione finale.

IMPORTANTE:tutte le informazioni sul corso, e tutte le comunicazioni agli studenti saranno date tramite la pagina Moodle del corso:

https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=2032#section-0

quindi per favore inscrivetevi alla pagina.

La prova orale consiste nello svolgimento di esercizi, in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se si dimostrerà padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento. Alle studentesse e studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese. 
Gli esami si svolgeranno in presenza e l'esame online sarà accordato solo a fronte di specifiche condizioni di comprovata fragilità personale rispetto al covid, o di positività.

• Warner, Foundations of differential geometry and Lie groups, Springer

• Sharpe, Differential Geometry: Cartan's generalization of Klein's Erlangen program, Springer

• Hall, Lie groups, Lie Algebras, and representations, Springer

• Fulton, Harris, Representation theory: a first course, Springer

Altri testi per approfondire:

• Hilgert-Neeb, Structure and geometry of Lie groups, Springer
• Duistermaat-Kolk, Lie groups, Springer
• Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer
• Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkhäuser
• Hall, Lie algebras, Lie groups and representations, Springer
• Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge Univ Press
• Varadarajan, Lie groups, Lie algebras and their representations, Springer
• San Martin, Grupos de Lie, editora Unicamp (in portoghese)
• San Martin, Algebras de Lie, editora Unicamp (in portoghese)
• Helgason, Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press