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Oggetto:
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Sistemi Dinamici e Teoria del Caos

Oggetto:

Dynamical Systems and Chaos Theory

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0220
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Contenuti degli insegnamenti obbligatori di algebra lineare, analisi, geometria e fisica matematica della Laurea Triennale.
Fundamental notions of Linear Algebra, Multivariate Calculus, Geometry and Mathematical Physics, included in the compulsory courses of the Laurea Triennale curriculum.
Propedeutico a
Insegnamenti avanzati di modellizzazione matematica di sistemi dinamici e sistemi complessi (anche con metodi numerici o stocastici).
Advanced courses on mathematical modeling of dynamical and complex systems (also in the direction of numerical or stochastic methods)
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso si propone di ampliare le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti, rispetto a quanto svolto nei corsi di laurea di I livello, e di fornire un'introduzione ai sistemi caotici, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica (meccanica celeste), economia, dinamica delle popolazioni.
General aspects of the theory of continuous and discrete dynamical systems, expanding the topics already encountered at undergraduate level (ODE theory, Lyapunov stability theory) and introducing bifurcation theory and chaotic systems, with emphasis on general strategies for applications in physics (e.g. celestial mechanics), biology (e.g. population dynamics) and social sciences.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Saper interpretare da un punto di vista modellistico le equazioni che definiscono un sistema dinamico (continuo o discreto). Saper analizzare qualitativamente il comportamento del sistema in dipendenza dei parametri. Paragonare il comportamento previsto dall’analisi qualitativa con i risultati numerici ottenuti al computer. Comprendere, in un certo numero di casi, quale classe di sistemi dinamici ammette un determinato comportamento. Comprendere il concetto di sistema deterministico caotico.
Understanding and interpreting, from both the mathematical and the modeling viewpoint, equations and maps describing a (continuous or discrete) dynamical system. Drawing phase portraits and performing qualitative analysis of the solution behavior in dependence of initial data and system parameters. Comparing theoretical qualitative analysis with numerical simulation. Understanding universality of qualitative behavior, structural stability and bifurcation types. Understanding the notion of deterministic chaotic system and its applications.

Oggetto:

Programma

- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel corso della LT. Definizione di stabilità (Lyapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.

- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica. Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate.

- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed eterocline. Orbite periodiche e loro stabilità, mappa di Poincaré. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.

- Biforcazioni di sistemi nonlineari. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti da parametri. Applicazioni a modelli reali.

- Sistemi Hamiltoniani integrabili e loro perturbazioni: teorema KAM e teoremi di Nekhoroshev (introduzione), regime di Chirikov.

- Analisi in frequenze per lo studio di sistemi dinamici caotici. Indicatori di Lyapunov.

- Review of elementary notions on discrete and continuous dynamical systems. Stability of critical points and Lyapunov theorems.

- Bifurcations of iterated maps. Topological conjugacy of maps; Bernoulli shift and symbolic dynamics. Chaotic maps. Metric entropy and topological entropy of maps. Invariant sets of iterated maps.

- Review of planar autonomous ODEs: classification of phase portraits. Qualitative analysis of nonlinear autonomous systems. Stable and unstable manifold of a saddle point. Homoclines and eteroclines. Periodic orbits and their stability; Poincaré map. Poincaré-Bendixson theorem.

- Bifurcations of nonlinear ODEs. Structural stability. Concrete examples from physics, biology, social sciences.

- Hamiltonian integrable systems and perturbations: introduction to KAM and Nekhoroshev theorems, Chirikov regime.

- Frequency analysis for continuous chaotic systems. Lyapunov indicators.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni frontali in aula; alcune sessioni di laboratorio in aula informatizzata. La durata totale dell'insegnamento è di 48 ore, di cui 24 ore a carico del prof. Magnano e 24 a carico del prof. Fouchard. Tutte le lezioni saranno trasmesse in live streaming (Webex) e le videoregistrazioni saranno rese disponibili su Moodle.
Lectures, complemented by a few tutorial sessions in the computer lab. The classes amount to 48 hours, 24 by prof. Magnano and 24 by prof. Fouchard. All lectures will be available in Webex live streaming and the video recordings will be made available on the Moodle platform.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è orale con voto in trentesimi. L'esame può essere sostenuto in italiano o in inglese, e potrà essere sostenuto a distanza nei casi previsti dalle nomrative di Ateneo.

Gli studenti possono scegliere, in alternativa, di sostenere l'esame con la modalità (A), comprendente

  • la discussione degli esercizi svolti con Maple, assegnati durante le lezioni, valutati complessivamente fino a un massimo di 8 punti;
  • due domande teoriche estratte dall'elenco che sarà pubblicato alla fine delle lezioni (prima dell'inizio delle sessioni di esami), ognuna delle quali valutata fino a un massimo di 10 punti;

oppure con la modalità (B), comprendente

  • la discussione degli esercizi svolti con Maple, assegnati durante le lezioni, valutati complessivamente fino a un massimo di 8 punti;
  • una domanda teorica estratta dall'elenco che sarà pubblicato alla fine delle lezioni, valutata fino a un massimo di 10 punti;
  • un seminario (di circa 25') su un articolo o saggio concordato con i docenti, valutato fino a un massimo di 12 punti.

Con la modalità (A) il voto d'esame potrà arrivare a un massimo di 28/30. Se il candidato ha scelto la modalità (B), per esporre il seminario dovrà aver raggiunto almeno 16 punti con la presentazione del lavoro con Maple e con la risposta alla domanda teorica: in caso contrario, anziché presentare il seminario dovrà rispondere a una seconda domanda, e l'esame sarà valutato secondo la modalità (A).

The oral exam can be taken in Italian or in English (online examinations are possible in the cases considered in the current University regulations). Student can choose between two versions of the oral exam. Type (A) includes

  • discussion of exercises assigned during the lectures, to be solved using Maple, scoring up to a total maximum of 8 points;
  • two questions extracted from a list that shall be released at the end of the course lectures, each answer being scored up to 10 points;

while type (B) includes

  • discussion of exercises assigned during the lectures, to be solved using Maple, scoring up to a total maximum of 8 points;
  • one question extracted from a list that shall be released at the end of the course lectures, scored up to 10 points;
  • a 25' seminar presenting an article or essay given by the teachers, scoring up to 12 points.

For type (A) the exam final score may reach a maximum of 28/30. If a student has chosen type (B), he/she should obtain at least 16 points for the Maple exercises and the answer to the question in order to proceed with the presentation; otherwise, he/she will be given a second question and the exam will be scored according to type (A).

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Dynamics and Bifurcations1
Anno pubblicazione:  
1991
Editore:  
Springer
Autore:  
J. Hale, H. Koçak
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos
Anno pubblicazione:  
2012
Editore:  
Academic Press
Autore:  
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour
Anno pubblicazione:  
2017
Editore:  
Routledge
Autore:  
D. K. Arrowsmith, C.M. Place
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Hamiltonian and Fourier Analysis (Advances in Astronomy & Astrophysics)
Anno pubblicazione:  
2003
Editore:  
Gardners Books
Autore:  
D. Benest
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Nonlinear Dynamics and Chaos
Anno pubblicazione:  
2014
Editore:  
Westview Press
Autore:  
S.H. Strogatz
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

.



Oggetto:

Insegnamenti che mutuano questo insegnamento

Oggetto:

Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 16:06