Sistemi Dinamici e Teoria del Caos

 

Dynamical Systems and Chaos Theory

 

Anno accademico 2018/2019

Codice attività didattica
MFN0560
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Claudia Maria Chanu (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

  • Italiano
  • English
Contenuti dei corsi obbligatori di algebra lineare, analisi, geometria e fisica matematica della Laurea Triennale.
 
 

Obiettivi formativi

  • italiano
  • english
Il corso si propone di ampliare le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti, rispetto a quanto svolto nei corsi di laurea di I livello, e di fornire un'introduzione ai sistemi caotici, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica, economia, dinamica delle popolazioni.

 

Risultati dell'apprendimento attesi

  • italiano
  • english
Saper interpretare da un punto di vista modellistico le equazioni che definiscono un sistema dinamico (continuo o discreto). Saper analizzare qualitativamente il comportamento del sistema in dipendenza dei parametri. Paragonare il comportamento previsto dall’analisi qualitativa con i risultati numerici ottenuti al computer. Comprendere, in un certo numero di casi, quale classe di sistemi dinamici ammette un determinato comportamento. Comprendere il concetto di sistema deterministico caotico.

 

Programma

  • italiano
  • english
- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel corso della LT. Definizione di stabilità (Liapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.

- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica. Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate. Definizioni di dimensione frattale.

- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed eterocline. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.

- Biforcazioni di mappe continue. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti da parametri. Applicazioni a modelli reali.

- Aspetti geometrico-differenziali e topologico-differenziali: sistemi dinamici su varietà, campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Trasversalità e teoria dell'intersezione, grado topologico di una mappa, numero di Lefschetz di una mappa e indice di un campo vettoriale.

- Cenni ai modelli di evoluzione di grandezze distribuite nello spazio: evoluzione di popolazioni, equazione del traffico, modelli di reazione-diffusione.

 

Modalità di verifica dell'apprendimento

  • italiano
  • english
L'esame prevede la discussione di un sistema dinamico assegnato, precedentemente studiato dal candidato con l'uso di Maple o di altro software appropriato; a questo segue la risposta a una domanda teorica estratta al momento da una lista nota agli studenti; l'esame si conclude con la presentazione in forma seminariale di un argomento (in genere, il contenuto di un articolo su rivista) assegnato in precedenza dal docente.

 

Testi consigliati e bibliografia

  • italiano
  • english
J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6. R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7. M. Hirsch - S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974, ISBN 0-12-349550-4. E. Beltrami, Mathematics for Dynamical Modeling, Academic Press 1987, ISBN 0-12-085555-0

 

Corsi che mutuano questo insegnamento

 
Registrazione
  • Aperta
     
    Ultimo aggiornamento: 04/06/2018 09:46
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