Laurea magistrale in Matematica

Una buona conoscenza del materiale degli insegnamenti di base di algebra, analisi e geometria.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di mostrare come lo studio dei linguaggi nei quali sono formalizzate le teorie e le dimostrazioni matematiche permette di ottenere informazioni sulle stesse. Informazioni positive riguardano ad esempio la costruzione di strutture che sono modelli delle teorie, o la loro eventuale decidibilità e meccanizzabilità delle dimostrazioni; quelle limitative riguardano risultati di incompletezza o indecidibilità, in particolare dell'aritmetica e sue estensioni.

Questo insegnamento si colloca naturalmente entro i percorsi di Logica Matematica.

Lo studente sarà in grado di padroneggiare gli strumenti fondamentali della logica matematica, inclusi aspetti di base di teoria degli insiemi, teoria dei modelli e ricorsività. Questo insegnamento pone le basi per tutti gli altri insegnamenti di logica matematica offerti dal dipartimento nell'ambito della laurea magistrale.

1. Ripasso di logica del prim'ordine (sintassi e semantica, strutture e sottostrutture, sottostrutture elementari, teorema di compattezza). Teorema di completezza.
2. Gli assiomi della teoria degli insiemi nel sistema Zermelo-Fraenkel. L'assioma di scelta. Ordinali e cardinali.
3. Gerarchia di von Neumann dell'universo degli insiemi. Aritmetica cardinale. Insiemi chiusi illimitati e stazionari.
4. Dualità di Stone per reticoli distributivi. Teorema di Löwenheim-Skolem. Esempi di eliminazione dei quantificatori e di teorie categoriche (ordini lineari densi, grafi aleatori, gruppi abeliani divisibili, campi algebricamente chiusi). Universalità ed omogeneità.

L'insegnamento di Istituzioni di Logica Matematica 24/25 si svolgerà esclusivamente in presenza.

La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata.

Le lezioni saranno tenute in italiano se nessuno studente straniero chiede che le lezioni vengano svolte in inglese.

L'esame è costituito da una prova scritta in presenza seguita da una prova orale, anch'essa in presenza (la data dell'orale verrà concordata con gli studenti il giorno dello scritto).

Per l'insegnamento da 6 CFU, la prova scritta prevede quattro esercizi da svolgere in due ore. Gli esercizi verteranno su tutti gli argomenti dell'insegnamento e prevedono la capacità di saper applicare le definizioni e i teoremi visti a lezione a situazioni specifiche. Durante lo scritto non sarà consentito consultare libri, quaderni, appunti, ecc... Il voto dello scritto è espresso in trentesimi e la soglia per essere ammessi all'orale è di 18/30. Il voto dello scritto sarà ritenuto valido per l'appello corrente e per quello immediatamente successivo: se non viene sostenuto l'orale entro l'appello successivo, si dovrà ripetere anche la prova scritta.

La prova orale (che si svolgerà in una data successiva allo scritto e che verrà concordata con gli studenti stessi) è constituita da una discussione dello scritto svolto dallo studente e dall'esposizione di qualche argomento dell'insegnamento, a scelta del docente. Il voto finale, che terrà conto sia del voto conseguito allo scritto che della prova orale, sarà espresso in trentesimi.

Le prove di esame saranno effetuate in presenza.

Tutto il materiale utilizzato durante le lezioni frontali è disponibile sulla pagina Moodle del corso, e resa disponibile di volta in volta seguendo l’evolversi dell’insegnamento.