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Istituzioni di Fisica Matematica

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Elements of Mathematical Physics

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Anno accademico 2024/2025

Codice attività didattica
MAT0201
Docenti
Dario Martelli (Titolare)
Lorenzo Fatibene (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Tipologia unità didattica
corso
Prerequisiti

Lo studente deve essere familiare con gli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra, Geometria, Analisi Matematica, Fisica Matematica e Fisica della Laurea Triennale in Matematica.

The student should be familiar with the topics covered in the courses of Algebra, Geometry, Mathematical Analysis, Mathematical Physics and Physics of the Bachelor's Degree program ("Laurea Triennale") in Mathematics.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Lo scopo di questo insegnamento è quello di fornire una conoscenza di base degli strumenti algebrici, analitici e geometrici che sono necessari per affrontare vari problemi di Fisica-Matematica. Verranno discussi concetti fondamentali per la formulazione della meccanica quantistica. Si svilupperanno strumenti di geometria differenziale e forniti esempi di applicazioni in relatività generale e in teorie di campo classiche. Si introdurranno concetti globali quali la teoria dei fibrati con esempi di applicazioni in teorie di gauge e geometria Riemanniana. Si introdurrà il calcolo variazionale per le teorie di campo.

The aim of this course is to provide a basic understanding of the algebraic, analytic and geometrical tools needed to address various problems in Mathematical Physics. We will discuss concepts essential for the formulation of quantum mechanics. We will develop tools of differential geometry and provide applications to general relativity and classical field theories. Global concepts such as the theory of fibered bundles will be introduced, with examples of applications in the context of gauge theories and Riemannian geometry. Variational calculus for field theories will be introduced.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Comprensione dei concetti matematici alla base della meccanica quantistica, quali gli spazi di Hilbert e operatori su di essi. Capacità di lavorare con campi di vettori, forme differenziali, campi di tensori, metriche, connessioni, densità tensoriali. Capacità di calcolare differenziali esterni, derivate di Lie, derivate covarianti ed altri oggetti. Comprensione di alcuni concetti globali di base e loro applicazione a diverse teorie fisiche.

Understanding of the mathematical concepts underlying quantum mechanics, such as Hilbert spaces and operators on these. Ability to work with vector fields, differential forms, tensor fields, metrics, connections, tensor densities. Ability to calculate exterior differential, Lie derivative, covariant derivatives and other objects. Unserstanding of some basic global concepts and their application to different physical theories.

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Programma

Spazi vettoriali di dimensione finita e algebre di operatori. Spazi vettoriali di dimensione infinita, spazi di Hilbert e operatori lineari. Richiami di teoria delle distribuzioni e calcolo dei residui. Polinomi ortogonali. Cenni di teoria spettrale per operatori in spazi di Hilbert. Fondamenti matematici della meccanica quantistica ed esempi. Varietà differenziabili: tensori, forme differenziali, derivata di Lie. Varietà simplettiche e dinamica Hamiltoniana. Gruppi di Lie: vettori e forme differenziali invarianti, equazioni di Maurer-Cartan, azione di un gruppo su varietà. Geometria Riemanniana: metrica, connessioni affini, curvatura, vettori di Killing, riferimenti ortonormali, dualità di Hodge. Fibrati: fibrati tangenti, fibrati vettoriali, fibrati principali. Fibrati dei getti e principi variazionali in teoria dei campi classici.

Finite dimensional vector spaces and operator algebras. Infinite dimensional vector spaces, Hilbert spaces and linear operators. Reminders of theory of distributions and residue calculus.  Orthogonal polynomials. Elements of spectral theory for operators on Hilbert spaces. Mathematical foundations of quantum mechanics and examples. Manifolds: tensors, differential forms, Lie derivative. Symplectic manifolds and Hamiltonian dynamics. Lie groups: invariant vectors and differential forms, Maurer-Cartan's equations, group actions on manifolds. Riemannian geometry: metric, affine connections, curvature, Killing vectors, orthonormal frames, Hodge duality. Fiber bundles: tangent bundles, vector bundles, principal bundles. Jet bundles and variational principles for classical field theories.

 

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali svolte in aula.

Lectures in class.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale con voto in trentesimi.

L'esame consiste in un seminario, della durata di 25 minuti circa, su un argomento trattato nel corso, o strettamente legato ad argomenti trattati nel corso. L'argomento del seminario deve essere concordato con i docenti del corso ed il testo del seminario dovrà essere inviato ai docente per email in formato pdf una settimana prima della data dell’appello.

Oral exam with mark out of thirty.

The exam consists of a seminar, lasting about 25 minutes, on a topic covered in the course, or closely related to topics covered in the course. The topic of the seminar must be agreed with the lecturers of the course and the text of the seminar must be sent to the lecturers by email in pdf format one week before the date of the exam.

Testi consigliati e bibliografia

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S. Hassani, Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations, Springer, 2012.

P. Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics, Cambridge, 2004.

M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Taylor & Francis, 2003.

Note prese da:

Relativistic Theories, Gravitational Theories and General Relativity

http://www.fatibene.org/book.html

S. Hassani, Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations, Springer, 2012.

P. Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics, Cambridge, 2004.

M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Taylor & Francis, 2003.

Notes from

Relativistic Theories, Gravitational Theories and General Relativity

http://www.fatibene.org/book.html



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Note

Consigliato come propedeutico ad altri corsi di Fisica Matematica della Laurea Magistrale in Matematica.

Suggested as preparatory to other courses in Mathematical Physics of the Master's Degree program ("Laurea Magistrale") in Mathematics.

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 10/06/2024 09:40

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