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Analisi Superiore

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Advanced Analysis

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Anno accademico 2020/2021

Codice attività didattica
MFN1413
Docenti
Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Mista
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili.
Classical integral and differential calcuslus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una trattazione della trasformata di Fourier sulla classe di Schwartz e sul suo spazio duale. Vengono introdotti i moltiplicatori di Fourier con applicazioni allo studio di equazioni alle derivate parziali come l’equazione di Schrödinger, del calore e delle onde. Si studiano gli spazi vettoriali topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz.

Il corso si propone di fornire agli studenti le principali nozioni sul calcolo differenziale in spazi di Banach e sulle funzioni assolutamente continue.

Il corso tratta i concetti fondanti degli spazi di Sobolev, fornendo alcune applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari.

The course aims to give to students knowledge of the Fourier transform, with applications in various functional spaces, of convolution product on the space of Lebesgue, to build families of functions which approximate the identity of that product. Topological spaces locally convex are also studied, in particular the spaces of Fréchet, treating the fundamental example of the class of Schwartz. We introduce the basic properties of the Laplace transform, with applications to differential equations.

The course will describe the main concepts in differential calculus in Banach spaces and the notion of absolutely continuous function.

The course develops the theory of Sobolev spaces and provides some applications to the study of linear and nonlinear boundary value problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

 Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, i risultati attesi dell'insegnamenti sono conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier, con applicazioni agli spazi di Lebesgue, di Sobolev e alle equazioni differenziali, la conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach, della classe delle funzioni assolutamente continue e BV, della classe di Schwartz, delle distribuzioni temperate, delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

 

The following issues as expected: the knowledge of the classical tools of Fourier analysis, with applications to the Lebesgue and Sobolev aspects and to differential equations; differential calculus in Banach spaces, the knowledge of the class of absolutely continuous functions and BV, of the Schwartz class, of the space of tempered distributions, the fundamental properties of the Sobolev spaces and of  some applications to elliptic boundary value problems.

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Programma

Modulo A (prof. E. Cordero)  16 ore = 2 cfu

- Spazi vettoriali topologici localmente convessi, spazi di Fréchet

- La classe di Schwartz: proprietà principali, relazioni con gli spazi di Lebesgue

- Lo spazio delle distribuzioni temperate: proprietà principali

- Azione della trasformata di Fourier sulla classe di Schwartz e sullo spazio delle distribuzioni temperate (duale topologico)

- Approfondimento sul prodotto di convoluzione nelli spazi di Lebesgue: la disuguaglianza di Young, casi particolari

 

 

Modulo B (prof. S. Terracini)  16 ore = 2 cfu

Introduzione agli spazi di Sobolev in più variabili: 

- definizione, principali proprietà, densità delle funzioni regolari, estensione

- teoremi di immersione, Disuguaglianza di Poincaré, Disuguaglianze di Sobolev (cenni)

- Risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo -div(grad u)=f con condizioni nulle al bordo

 

 

Modulo C (prof. A. Capietto)  16 ore = 2 cfu

 

- Funzioni assolutamente continue

- Lo spazio di Sobolev $H^1(]0,1[)$

- Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni, teorema della media, teorema di inversione locale

============   9 cfu = [6 cfu cf sopra] + [ 3 cfu: 24 (=8x3) ore ]===========

 

Modulo A (prof. E. Cordero)  8 ore = 1 cfu

- Complementi sulla teoria delle distribuzioni temperate. Gli spazi di Sobolev H^s. Il potenziale di Bessel. 

- Applicazioni della trasformata di Fourier alle equazioni alle derivate parziali. Soluzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde; l'equazione del calore dipendente dal tempo, l'equazione del calore stazionaria nel semipiano superiore. 

Modulo B (prof. S. Terracini)  8 ore = 1 cfu 

- Complementi e dimostrazioni sugli di Sobolev,  disuguaglianza isoperimetrica, e cenni sulle funzioni a variazione limitata in più variabili

- Alcuni problemi ai limiti ellittici, autovalori del Laplaciano 

Modulo C (prof. A. Capietto)  8 ore = 1 cfu

- Complementi sulle funzioni assolutamente continue; funzioni a variazione totale finita.

 

 

Module A (prof. E. Cordero) 16 hours = 2 cfu


- Locally convex topological vector spaces, Fréchet spaces
- The Schwartz class: main properties, relations with Lebesgue spaces
- The space of temperate distributions: main properties
- Action of the Fourier transform on the Schwartz class and on the space of the tempered distributions (topological dual)
- Deepening on the product of convolution in Lebesgue spaces: Young's inequality, special cases
- Fourier multipliers
- Application of Fourier multipliers to partial differential equations. Differential operators with constant coefficients. Solution of the Cauchy problem for the heat, wave and Schrödinger equation

 

Module B (prof. S. Terracini) 16 hours = 2 cfu


Introduction to Sobolev spaces in several variables:
- definition, main properties, density of regular functions, extension
- immersion theorems, Poincaré inequality, Sobolev inequalities (hints)
-Resolution of the homogeneous Dirichlet problem -div (grad u) = f with zero boundary conditions


Module C (prof. A. Capietto) 16 hours = 2 cfu

- Absolutely continuous functions
- The space of Sobolev $ H ^ 1 (] 0,1 [) $
- Differential calculus in Banach spaces: definitions, mean value  theorem, local inversion theorem


============ 9 cfu = [6 cfu cf above] +[3 cfu: 24 (= 8x3) hours]=============


Module A (prof. E. Cordero) 8 hours = 1 cfu

- Complements on the theory of temperate distributions. The Sobolev space H^s. The Bessel potential.

- Applications of the Fourier transform to partial differential equations. Solution of the Cauchy problem for the wave equation; the time-dependent heat equation, the stationary heat equation in the upper half-plane.


Module B (prof. S. Terracini) 8 hours = 1 cfu


- Complements and proofs of Sobolev, isoperimetric inequality, and an outline of the limited variation functions in several variables
- Some problems with elliptic limits, eigenvalues ​​of the Laplacian


Module C (prof. A. Capietto) 8 hours = 1 cfu


- Complements on absolutely continuous functions; finite total variation functions

 

 

 

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Modalità di insegnamento

 

A partire dal 21-9 e per tutto il mese di ottobre il corso prevede il seguente calendario:
 
lunedì e venerdì dalle 10,30 alle 12,30: Prof.ssa Cordero (da remoto con la modalità webex - le lezioni saranno anche rese disponibili su moodle)
martedì dalle 8,30 alle 10,30: Prof.ssa Capietto (in presenza nell'Aula S di Palazzo Campana - le lezioni saranno registrate e rese disponibili su moodle).
 
Per ogni informazione si faccia riferimento alla pagina moodle del corso. Si raccomanda di consultare frequentemente la pagina moodle del corso, sulla quale saranno pubblicate eventuali modifiche delle modalità di erogazione del corso dovute all'emergenza Covid.
Si ricorda agli studenti che devono registrarsi al corso tramite la pagina campusnet del corso. Gli studenti registrati riceveranno una password con la quale potranno accedere alla pagina moodle del corso.
 
Lezione di analisi superiore 21/9/2020
lunedì, settembre 21, 2020 ore 10,30
 
 
Partecipa a riunione WebEx
Numero riunione: 121 917 1986
Password riunione: T7bGAYXkJ32

Collegamento: https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=m1d89fd5d97d6ca48e32dacb6258e2a31

 

 

 Lezione di analisi superiore 25/9/2020 

Numero riunione (codice di accesso): 121 255 8948

Password riunione: GGmmPxes284

Collegamento: https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=m4fc5acc247961d1015912ef0431a5b15

Starting from 21-9 and for the whole month of October, the course 
will have the following calendar: Monday and Friday from 10.30 to 12.30: Prof.ssa Cordero (remotely with
via webex - the lessons will also be made available on moodle) Tuesday from 8.30 to 10.30: Prof.ssa Capietto (in presence in Aula S
of Palazzo Campana - the lessons will be recorded and made available on moodle). For any information, please refer to the course's moodle page.
It is recommended that you frequently consult the course's moodle page,
on which any changes to the course delivery methods due to the Covid
emergency will be published. Students are reminded that they must register for the course via
the course campusnet page. Registered students will
receive a password for the access to the moodle page of the course.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Il voto è espresso in trentesimi. Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in inglese.

Attenzione: Durante il periodo relativo all'allerta Covid-19 gli esami si terranno in modalità telematica, via Webex. Se sarà possibile, gli esami si svolgeranno anche in aula. Seguiranno informazioni più dettagliate.

 

 

 

 

The exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the course. There may be questions that require the execution of exercises. The score is expressed as x/30. Foreign students can take the exam in English.

Warning: During the Covid-19 alert period, exams will be held electronically, via Webex. If possible, the exams will also take place in the classroom. More detailed information will follow.

 

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Testi consigliati e bibliografia

1) Dispense fornite dai docenti

2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale

1) Notes of teachers

2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 14/09/2020 15:12

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