Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Analisi Superiore

Oggetto:

Advanced Analysis

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MFN1413
Docenti
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Prof. Alberto Boscaggin (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili. Analisi funzionale.
Classical integral and differential calcuslus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions. Functional Analysis
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti una trattazione sistematica dei principali spazi funzionali ed operazioni interne ad essi che formano gli strumenti indispensabili per la trattazione moderna degli operatori differenziali lineari e non lineari. Verrà introdotta la trasformata di Fourier ed approfondito il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue. Vengono introdotti gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz.  Si definiscono i moltiplicatori di Fourier e si studiano le loro principali proprietà, con applicazione ai problemi di Cauchy per l'equazione  del calore e delle onde. L'insegnamento si propone inoltre di trattare la classe delle funzioni assolutamente continue, il calcolo differenziale in spazi di Banach e le nozioni fondamentali relative agli spazi di Sobolev, con applicazioni allo studio di problemi differenziali ai limiti lineari e nonlineari.

Il corso è adatto sia ad un percorso mirato specificatamente all'analisi matematica, sia a percorsi mirati a disciipline in cui gli operatori differenziali abbiano importanti applicazioni, quali la geometria differenziale, l'analisi su varietà e la relatività.

Nella versione da 9CFU verranno svolti importanti complementi relativi alle diseguaglianze geometriche e funzionali, con applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. 

The course aims to provide students with a systematic treatment of the main functional spaces and internal operations that form the indispensable tools for the modern treatment of linear and non-linear differential operators. After infroducing the Fourier transform on the Schwartz class and its dual space of tempered distribution, we will deepen the properties  of the convolution product on various function and distribution spaces. Locally convex topological vector spaces  are also studied, in particular the Fréchet spaces, treating the fundamental example of the Schwartz class. Fourier multipliers are introduced and studied on different function spaces, with application to heat and wave equations.

The teaching provides the basic concepts of the theory of absolutely continuous functions, of the differential calculus in Banach spaces, of the theory of Sobolev spaces and it provides some applications to the study of linear and nonlinear differntial boundary value problems.

The course is suitable for both a program specifically targeted to mathematical analysis, and for programs targeted to subjects where differential operators have relevant applications, such as differential geometry, variety analysis and relativity.

In the 9CFU version, important complements related to geometric and functional inequalities will be performed, with applications to partial differential equations.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

 Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, i risultati attesi dell'insegnamento sono conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier, con applicazioni agli spazi di Lebesgue, di Sobolev e alle equazioni differenziali, la conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach, della classe delle funzioni assolutamente continue e BV, della classe di Schwartz, delle distribuzioni temperate, delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

 

The following issues as expected: the knowledge of the classical tools of Fourier analysis, with applications to the Lebesgue and Sobolev aspects and to differential equations; differential calculus in Banach spaces, the knowledge of the class of absolutely continuous functions and BV, of the Schwartz class, of the space of tempered distributions, the fundamental properties of the Sobolev spaces and of  some applications to elliptic boundary value problems.

Oggetto:

Programma

Modulo A (prof. E. Cordero)  24 ore = 3 cfu

- Spazi vettoriali topologici localmente convessi, spazi di Fréchet

- La classe di Schwartz: proprietà principali, relazioni con gli spazi di Lebesgue

- Lo spazio delle distribuzioni temperate: proprietà principali

- Azione della trasformata di Fourier sulla classe di Schwartz e sullo spazio delle distribuzioni temperate (duale topologico)

- Approfondimento sul prodotto di convoluzione nelli spazi di Lebesgue: la disuguaglianza di Young, casi particolari

- Spazi di Sobolev H^s

-Applicazioni della trasformata di Fourier al problema di Cauchy per l'equazione del calore e delle onde

 

Modulo B (prof. A. Boscaggin) 24 ore = 3 cfu

- Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni, teorema del valor medio, teorema di inversione locale e teorema della funzione implicita

- Teorema di differenziazione di Lebesgue e funzioni assolutamente continue

- Introduzione agli spazi di Sobolev in una e più variabili: definizioni, principali proprietà, densità delle funzioni regolari, estensione; immersioni e disuguaglianza di Poincaré; risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo -div(grad u)=f con condizioni nulle al bordo e principio di Dirichlet

 

Modulo C (prof. S. Terracini) 24 ore = 3 cfu

  • Complementi e dimostrazioni sugli di Sobolev
  • Disuguaglianza isoperimetrica
  • Funzioni a variazione limitata in più variabili.
  • Approfondimenti sui problemi ai limiti ellittici, principio del massimo
  • Autovalori del Laplaciano

 

Module A (prof. E. Cordero) 24 hours = 3 cfu

- Locally compact topological vector spaces. Fréchet spaces

- The Schwartz class: main properties, relations with Lebesgue spaces

- The space of tempered distributions: main properties

- Action of the Fourier transform on the Schwartz class and on its dual space of tempered distributions

- Young's convolution inequality, special cases

- Sobolev spaces H^s

-Application of the Fourier trasform to the  Cauchy problem for the heat and wave equations

 

Module B (prof. A. Boscaggin) 24 hours = 3 cfu

- Differential calculus in Banach spaces: definitions, mean value theorem, local inversion theorem and implicit function theorem

- Lebesgue differentiation theorem and absolutely continuous functions.

- Introductions to Sobolev spaces in one and several variables: definitions, main properties, density of regular functions, extension; embeddings and Poincaré inequality; the homogeneous Dirichlet problem -div (grad u) = f with zero boundary conditions

 

Module C (prof. S. Terracini) 24 hours = 3 cfu

  • Complementi e dimostrazioni sugli di Sobolev
  • Disuguaglianza isoperimetrica
  • Funzioni a variazione limitata in più variabili.
  • Approfondimenti sui problemi ai limiti ellittici, principio del massimo
  • Autovalori del Laplaciano

 

 

 

 

 

Oggetto:

Modalità di insegnamento

   

Le lezioni si svolgeranno in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

Per ogni informazione si faccia riferimento alla pagina moodle dell'insegnamento. Si raccomanda di consultare frequentemente la pagina moodle dell'insegnamento, sulla quale saranno pubblicate eventuali modifiche delle modalità di erogazione dell'insegnamento dovute all'emergenza Covid.

Si ricorda agli studenti che devono registrarsi all'insegnamento tramite la pagina campusnet dell'insegnamento. Gli studenti registrati riceveranno una password con la quale potranno accedere alla pagina moodle dell'insegnamento.

 

 

The course will take place in presence, except for exceptions, in accordance with the provisions of the University.

For any information, please refer to the teaching's moodle page.
It is recommended that you frequently consult the teaching's moodle page,
on which any changes to the teaching delivery methods due to the Covid
emergency will be published.

Students are reminded that they must register for the teaching via
the teaching campusnet page. Registered students will
receive a password for the access to the moodle page of the teaching.

 

 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

 

Le prove d'esame saranno effettuate in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

Per i moduli A e B, l'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nell'insegnamento.  Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Per il modulo C, l'esame avrà carattere seminariale, con l'esposizione di qualche risultato della ricerca recente. Il voto è espresso in trentesimi. Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in inglese.

 

 

 

The exams will take place exclusively in presence, except for exceptions, in accordance with the provisions of the University.

Concernin mosulus A and B, the exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the teaching. There may be questions that require the execution of exercises. The exam of modulus C consists in a seminar on some result of the recent literature. The score is expressed as x/30. Foreign students can take the exam in English.

 

 

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Altro
Titolo:  
Note di Analisi Superiore
Note testo:  
Dispense fornite dal docente
Obbligatorio:  
Si


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations
Anno pubblicazione:  
2011
Editore:  
Springer, New York
Autore:  
Haim Brezis
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

1) Dispense fornite dai docenti

2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale

1) Notes of teachers

2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale



Oggetto:

Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 14/09/2022 10:29

    Non cliccare qui!