- Oggetto:
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Teoria descrittiva degli insiemi
- Oggetto:
DESCRIPTIVE SET THEORY
- Oggetto:
Anno accademico 2024/2025
- Codice attività didattica
- MAT0346
- Docente
- Alessandro Andretta (Titolare)
- Corso di studio
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno, 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/01 - logica matematica
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Tipologia unità didattica
- corso
- Prerequisiti
-
Nozioni e risultati elementari in topologia, analisi e logica matematica (formule, ordinali e cardinali, induzione transfinita).
Basic notions and results in topology, analysis, and mathematical logic (formulas, ordinals and cardinals, transfinite induction).
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire un'introduzione alla Teoria Descrittiva degli Insiemi, un'area della teoria degli insiemi che presenta fortissime interazioni con molte altre parti della matematica (topologia, analisi funzionale, teoria dei gruppi) e che ha portato ad interessanti risultati e applicazioni in tali ambiti.
Questo insegnamento si colloca naturalmente entro i percorsi di Logica Matematica, ma viste le numerose interazioni con altre parti della matematica può essere di utile complemento anche nei percorsi di Analisi Matematica.
The course is an introduction to Descriptive Set Theory, a part of set theory with many interactions with other areas of mathematics (topology, functional analysis, group theory) and which led to interesting results and applications in those fields.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà essere in grado di mostrare padronanza tecnica degli aspetti di base dei vari argomenti trattati.
The student will have to show his capability of mastering the basic aspects and techniques related to the topics presented in class.
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Programma
- Spazi polacchi, definizione ed esempi.
- Insiemi e funzioni Boreliane.
- Spazi standard Borel.
- La gerarchia Boreliana e la gerarchia di Baire.
- Insiemi analitici e teoremi di separazione.
- Insiemi proiettivi e definibilità.
- Proprietà dell'insieme perfetto.
Verranno inoltre approfonditi alcuni dei seguenti argomenti:
- Definibilità nell'aritmetica del second'ordine.
- Nozioni di categoria di Baire.
- Misure Boreliane.
- Giochi infiniti.
- Gruppi Polacchi e loro azioni continue.
- Teoria descrittiva degli insiemi effettiva.
- Polish spaces, definition and examples.
- Borel sets and functions.
- Standard Borel spaces.
- The Borel and the Baire hierarchies.
- Analytic sets and separations theorems.
- Projective sets and definability.
- Perfect set property.
Additionally, some of the following topics will be explored:
- Definability in second-order arithmetic.
- Baire category.
- Borel measures.
- Infinite games.
- Polish groups and their continuous actions.
- Effective descriptive set theory.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento sarà erogato in presenza con lezioni frontali in aula (48 ore, corrispondenti a 6 CFU). Occasionalmente potranno essere assegnati esercizi da svolgere a casa come complemento alle lezioni. La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata.
The course will be held in person with standard lectures in classroom (48 hours, which correspond to 6 CFU). Occasionally, some homeworks may be assigned as complement to the lessons. Attendance is not mandatory but strongly recommended.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
Vi sono due modalità possibili, a scelta dello studente:
1) Consegna e valutazione degli esercizi assegnati durante il corso e seminario di approfondimento finale.
2) Prova orale in uno degli appelli dopo il termine del corso. La prova orale consisterà in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate a lezione e in domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.
In entrambi i casi le prove di esame saranno effettuate in presenza. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese. Il voto è espresso in trentesimi.
The students can choose between two options:
1) Evaluation of the student's solution to the exercises assigned in class, and a final seminar on a more advanced topic.
2) Oral exam in one of the sessions after the end of the lectures. The oral exam consists of questions concerning the theory and the proofs presented in the lectures, and in questions asking to solve some exercises.
In both cases, the exam will be held in person. Foreign students are guaranteed the opportunity to take the exam in English. Grades are out of 30.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Classical Descriptive Set Theory
- Anno pubblicazione:
- 1995
- Editore:
- Springer-Verlag
- Autore:
- A. Kechris
- ISBN
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Note del docente.
Personal notes of the teacher.
- Registrazione
- Aperta
- Oggetto:
