- Oggetto:
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Complementi di Logica
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Topics in Mathematical Logic
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Anno accademico 2025/2026
- Codice attività didattica
- MAT0184
- Docenti
- Filippo Calderoni (Titolare)
Dima Svetoslavova Sinapova (Titolare) - Corso di studio
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MATH-01/A - Logica matematica
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Inglese
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Nozioni e risultati elementari in topologia, analisi, teoria descrittiva degli insiemi, teoria dei gruppi (in particolare azione di gruppo, gruppo quoziente) e logica matematica (formule, ordinali e cardinali, induzione transfinita).
Basic notions and results in topology, analysis, group theory (in particular group actions, quotient groups), and mathematical logic (formulas, ordinals and cardinals, transfinite induction).
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Sommario insegnamento
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Avvisi
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Obiettivi formativi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di presentare alcune interazioni tra la logica e altre aree della matematica.
Nella prima parte del corso (24 ore) verranno studiate le relazioni d'equivalenza boreliane numerabili mediante gli strumenti della teoria descrittiva degli insiemi.
Nella seconda parte (24 ore) introduceremo vari principi della combinatorica infinita e come interagiscono con l'aritmetica cardinale e i grandi cardinali.
The course presents some interactions between logic and other areas of mathematics.
In the first part (24 hours), we study countable Borel equivalence relations with the tools of descriptive set theory.
In the second part (24 hours), we introduce various principles of infinite combinatorics and how they interact with cardinal arithmetic and large cardinals.
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Risultati dell'apprendimento attesi
La componente studentesca dovrà dopo la prima parte conoscere le principali tecniche e teoremi fondamentali della teoria della reducibilità boreliana. Dovrà inoltre mostrare padronanza nelle tecniche principali per analizzare le relazioni di equivalenza numerabili ed essere familiari con i principali problemi aperti dell'ambito.
Seconda parte: la componente studentesca studierà i grandi cardinali e l'aritmetica cardinale e la loro relazione alla riflessione stazionaria e la proprietà dell'albero. Guadagneranno familiarità con forcing posets come il forcing di Prikry, quello di Mitchell e le tecniche di forcing per collassare e singolarizzare cardinali.
First part: the student must get acquainted with the main techniques and fundamental theorems of the theory of Borel reducibility. They should master the main techniques to analyze countable Borel equivalence relations, and get familiar with important open problems in the subject.
Second part: the students will learn about large cardinals, cardinal arithmetic, and their relation to stationary reflection and the tree property. They will also become familiar with forcing posets, such as Prikry forcing, Mitchell forcing, and forcing techniques to collapse and singularize cardinals.
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Programma
Prima parte (24h): teorema di Feldman-Moore, classificazioni con invarianti numerici, ergodicità (generica), iperfinitezza, alberabilità e teoremi di rigidità per azioni di gruppo.
Seconda parte (24h): introduremo la riflessione stazionaria, gli alberi di Aronszajn e la loro interazione con l'aritmetica cardinale (come CH e SCH) e i grandi cardinali. Poi vedremo qualche applicazione del forcing alla combinatorica ad ℵ2. Finalmente studieremo la combinatorica ai successori di singolari, in particolare ad ℵω+1. Discuteremo alla fine anche sviluppi recenti e problemi aperti.
First part (24h): Feldman Moore theorem, smoothness, (generic) ergodicity, hyperfiniteness, treeability, and rigidity theorems for group actions.
Second part (24h): we will introduce stationary reflection, Aronszajn trees, and how they interact with cardinal arithmetic (e.g., CH, SCH) and large cardinals. Then we will go over some forcing applications to the combinatorics at ℵ2. Finally, we will cover combinatorics at successors of singulars, in particular at ℵω+1. We will also discuss some recent developments and open problems at the end.
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Modalità di insegnamento
Lezioni frontali in aula (48 ore, corrispondenti a 6 CFU). Occasionalmente potranno essere assegnati esercizi da svolgere a casa come complemento alle lezioni. La frequenza è fortemente consigliata.
Standard lectures in the classroom (48 hours, which correspond to 6 CFU). Occasionally, some homework may be assigned as a complement to the lessons. Attendance is strongly recommended.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
Vi sono due modalità possibili, a scelta della componente studentesca:
1) Consegna e valutazione degli esercizi assegnati durante il corso (consigliato). Questa modalità è possibile solo fino all'appello di luglio.
2) Prova orale in uno degli appelli dopo quello di luglio. La prova orale consisterà in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate a lezione e in domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.
Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese. Il voto è espresso in trentesimi.
The students can choose between two options:
1) Evaluation of the student's solution to the exercises assigned in class. This option is available only until the July session.
2) Oral exam in one of the sessions after July. The oral exam consists of questions concerning the theory and proofs presented during the lectures, as well as solving some exercises.
Foreign students are guaranteed the opportunity to take the exam in English. Grades are out of 30.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Invariant Descriptive Set Theory
- Anno pubblicazione:
- 2009
- Editore:
- CRC Press
- Autore:
- Su Gao
- Note testo:
- Libro di testo per la prima parte del corso.
- Obbligatorio:
- No
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- Libro
- Titolo:
- Topics in Orbit Equivalence
- Anno pubblicazione:
- 2004
- Editore:
- Springer
- Autore:
- Alexander S. Kechris, Benjamin D. Miller
- Note testo:
- Libro di testo per la prima parte del corso
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Set Theory
- Anno pubblicazione:
- 2003
- Editore:
- Springer
- Autore:
- Thomas Jech
- Note testo:
- Libro di testo per la seconda parte del corso
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
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