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Oggetto:
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EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche

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SDEs-STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

Oggetto:

Anno accademico 2021/2022

Codice attività didattica
MAT0188
Docente
Prof. Bruno Toaldo (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
È indispensabile aver seguito il corso "Istituzioni di Calcolo delle Probabilità" della laurea magistrale. Non è indispensabile, ma è comunque raccomandato, aver seguito il corso di processi stocastici della laurea magistrale.
It is crucial to have attended the course "Advanced Probability" of the MSc. It is not crucial but recommended to have also attended the course "Stochastic processes" of the MSc.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di mettere l'allievo nelle condizioni di poter comprendere la formulazione matematica di vari modelli delle scienze applicate e della Matematica Finanziaria in cui intervengono le equazioni differenziali stocastiche. Il corso utilizza alcuni concetti e strumenti che sono sviluppati nei corsi di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità e Istituzioni di Analisi Matematica e che vengono brevemente richiamati nelle prime lezioni; oltre a questo si utilizzano strumenti della matematica di base appresi nella laurea triennale. Le dimostrazioni dei risultati principali del corso vengono svolte completamente. Esse mostrano importanti legami esistenti tra l'Analisi e la Probabilita'.  Per migliorare le capacita'  di approfondimento  il docente propone la lettura di alcuni articoli scientifici. Insieme al corso di Processi Stocastici fornisce competenze per avvicinarsi alla ricerca in contesti stocastici. Il corso fornisce anche concetti introduttivi per l'avviamento alla ricerca nel campo delle equazioni paraboliche di Kolmogorov.

 

The course aims to put the student in a position to understand the mathematical formulation of various models of applied sciences and financial mathematics which involve stochastic differential equations. The course uses some of the concepts and tools that are developed in the course of Advanced Probability (Istituzioni di Calcolo delle Probabilita') and Elements of Functional Analysis and Measure Theory (Istituzioni di Analisi Matematica) and which are briefly mentioned in the first lectures. The proofs of the main results of the course are carried out completely. They show important links between Analysis and Probability. To improve the skills of reading and  study  the teacher proposes the reading of some scientific articles.    Together with the course of Stochastic Processes it suggests an approach to the research in stochastic environments. The course also provides basic concepts on parabolic equations of Kolmogorov type.

  

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza dell'integrale stocastico e dei metodi fondamentali nello studio delle equazioni differenziali stocastiche. Conoscenza dei legami tra le equazioni differenziali stocastiche e le equazioni paraboliche di Kolmogorov. Capacità di applicare le equazioni differenziali stocastiche a problemi  delle scienze applicate.

Knowledge of the stochastic integral and the stochastic differential equations. Knowledge of the relations between stochastic differential equations and Kolmogorov equations. Ability to apply stochastic differential equations to solve problems in applied sciences.

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Programma

- Moto Browniano (costruzione di Kolmogorov e di Lévy;  proprietà  di (non)regolarità delle traiettorie).

- Integrale stocastico secondo Ito (principali proprietà e confronto con l'integrale di Riemann-Stieltjes)

- Formula di Ito e  sue applicazioni

- Equazioni differenziali stocastiche (teoremi di esistenza e unicità)

- Proprietà di Markov delle soluzioni di equazioni stocastiche e legami con le equazioni paraboliche di Kolmogorov

- Possibili applicazioni delle equazioni stocastiche alla matematica finanziaria e alla dinamica delle popolazioni

-  Brownian motion  (its construction by means of Kolmogorov's Theorem and the Lévy construction; regularity properties of trajectories); the Wiener measure

- The Ito stochastic integral  (basic properties; comparison between the stochastic integral and the  Riemann-Stieltjes integral)

- The Ito formula and its applications

- Stochastic differential equations (existence and uniqueness theorems)

- Markov property of solutions of stochastic differential equations; connections between  stochastic differential equations and parabolic Kolmogorov equations

- Possible applications of  stochastic differential equations  to Mathematical Finance and Population Dynamics 

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni in aula. Tutte le lezioni saranno trasmesse in diretta streaming mediante piattaforma Webex. Il link per il collegamento alle lezioni sarà inviato di volta in volta agli studenti iscritti al corso. Chiunque altro desideri seguire le lezioni online può mandare una mail al docente per ricevere il link.

 

Lessons in the classroom. All the lectures will be also broadcast in live streaming using Webex. The link for the Webex meetings will be sent, from time to time, to the students enrolled to the course. Anyone else wishing to attend the lessons online should write an email to the teacher to get the connection link.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale. Sono previste domande sul programma (teoria ed esempi). Vedere anche il file Informazioni in materiale didattico. 
Oral examination. Questions on the program (theory and examples).  

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Brownian Motion
Anno pubblicazione:  
2012
Editore:  
De Gruyter
Autore:  
René L. Schilling, Lothar Partzsch, Bjorn Bottcher
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Stochastic Calculus
Anno pubblicazione:  
2017
Editore:  
International Publishing
Autore:  
Paolo Baldi
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

Il docente fornirà degli appunti manoscritti. Gran parte dei contenuti sono reperibili nei seguenti libri:

Rene L. Schilling, Lothar Partzsch, Bjorn Bottcher. Brownian Motion. De Gruyter, 2012.

Paolo Baldi. Stochastic Calculus. International Publishing, 2017.

Lecture notes by the teacher. The contents of the course is available in the following books:

Rene L. Schilling, Lothar Partzsch, Bjorn Bottcher. Brownian Motion. De Gruyter, 2012.

Paolo Baldi. Stochastic Calculus. International Publishing, 2017.



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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 13/10/2021 15:39

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