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EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche

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SDEs-STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MAT0188
Docenti
Elena Issoglio (Titolare)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
È indispensabile aver seguito l'insegnamento "Istituzioni di Calcolo delle Probabilità" della laurea magistrale. Non è indispensabile, ma è comunque raccomandato, aver seguito l'insegnamento di "processi stocastici" della laurea magistrale.
It is crucial to have attended the module "Advanced Probability" of the MSc. It is not crucial but recommended to have also attended the module "Stochastic processes" of the MSc.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di mettere l'allievo nelle condizioni di poter comprendere la formulazione matematica di vari modelli delle scienze applicate e della Matematica Finanziaria in cui intervengono le equazioni differenziali stocastiche. L'insegnamento utilizza alcuni concetti e strumenti che sono sviluppati negli insegnamenti di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità e Istituzioni di Analisi Matematica e che vengono brevemente richiamati nelle prime lezioni; oltre a questo si utilizzano strumenti della matematica di base appresi nella laurea triennale. Le dimostrazioni dei risultati principali del corso vengono svolte completamente. Esse mostrano importanti legami esistenti tra l'Analisi e la Probabilita'.  Per migliorare le capacita' di approfondimento il docente puó proporre la lettura di alcuni articoli scientifici. Insieme all'insegnamento di Processi Stocastici, il presente insegnamento fornisce competenze per avvicinarsi alla ricerca in contesti stocastici. Esso fornisce anche concetti introduttivi per l'avviamento alla ricerca nel campo delle equazioni paraboliche di Kolmogorov.

 

Una parte dell'insegnamento (16 ore) verrá insegnata nell'ambito del programma Visiting Professor.

 

The module aims to put the student in a position to understand the mathematical formulation of various models of applied sciences and financial mathematics which involve stochastic differential equations. The module uses some of the concepts and tools that are developed in the modules Advanced Probability (Istituzioni di Calcolo delle Probabilita') and Elements of Functional Analysis and Measure Theory (Istituzioni di Analisi Matematica) and which are briefly mentioned in the first lectures. The proofs of the main results of the module are carried out completely. They show important links between Analysis and Probability. To improve the skills of reading and  study  the teacher may propose the reading of some scientific articles.  Together with the module Stochastic Processes, this module allows students to get a taste of research in the stochastic area. The course also provides basic concepts on parabolic equations of Kolmogorov type.

 

Some lecures of the module (16 hours) will be taught within the Visiting Professor programme. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza dell'integrale stocastico e dei metodi fondamentali nello studio delle equazioni differenziali stocastiche. Conoscenza dei legami tra le equazioni differenziali stocastiche e le equazioni paraboliche di Kolmogorov. Capacità di applicare le equazioni differenziali stocastiche a problemi  delle scienze applicate.

Knowledge of the stochastic integral and the stochastic differential equations. Knowledge of the relations between stochastic differential equations and Kolmogorov equations. Ability to apply stochastic differential equations to solve problems in applied sciences.

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Programma

- Moto Browniano (definizione;  proprietà  di (non)regolarità delle traiettorie).

- Integrale stocastico secondo Ito (principali proprietà e confronto con l'integrale di Riemann-Stieltjes)

- Formula di Ito e  sue applicazioni

- Equazioni differenziali stocastiche (teoremi di esistenza e unicità)

- Proprietà di Markov delle soluzioni di equazioni stocastiche e legami con le equazioni paraboliche di Kolmogorov

- Possibili applicazioni delle equazioni stocastiche alla matematica finanziaria e alla dinamica delle popolazioni

NOTA: 16 ore dell'insegnamento verranno tenute da un Visiting Professor

-  Brownian motion  (definition; regularity properties of trajectories); the Wiener measure

- The Ito stochastic integral  (basic properties; comparison between the stochastic integral and the  Riemann-Stieltjes integral)

- The Ito formula and its applications

- Stochastic differential equations (existence and uniqueness theorems)

- Markov property of solutions of stochastic differential equations; connections between  stochastic differential equations and parabolic Kolmogorov equations

- Possible applications of  stochastic differential equations  to Mathematical Finance and Population Dynamics 

NOTE: 16 hours of the module will be taught by a Visiting Professor.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Totale ore frontali 48, incluse ore di teoria ed ore di esercizi.

Si consiglia l'iscrizione alla pagina Moodle per ricevere annunci e accedere ad eventuale materiale didattico digitale fornito agli studenti. 

Il corso può essere svolto in lingua inglese, se c'è almeno uno studente che lo richiede, altrimenti sarà svolto in italiano. 

 

Total number of teaching hours is 48, including exercise classes and theoretical lectures.

It is advised to sign up to the Moodle page to receive all latest announcements and access the online material provided to students.  

The lectures can be held in English, if at least one stundent requires it. Otherwise it will be in Italian. 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale con voto in trentesimi. 

Sono previste domande sul programma (teoria ed esempi, esercizi svolti). 

 

Oral examination with final mark out of 30.

There will be questions on the program (theory and examples, solved exercises).  

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Stochastic Differential Equations An Introduction with Applications
Anno pubblicazione:  
2003
Editore:  
Springer
Autore:  
Oksendal Bernt
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Stochastic Calculus
Anno pubblicazione:  
2017
Editore:  
International Publishing
Autore:  
Paolo Baldi
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
An Introduction to Stochastic Differential Equations
Anno pubblicazione:  
2013
Editore:  
AMS
Autore:  
Evans Lawrence
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Brownian motion
Anno pubblicazione:  
2012
Editore:  
De Gruyter
Autore:  
René L. Schilling, Lothar Partzsch, Bjorn Bottcher
Obbligatorio:  
No


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Orario lezioniV

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  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 12/09/2023 10:41

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