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Supergravità e corrispondenza AdS/CFT

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Supergravity and the AdS/CFT correspondence

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Anno accademico 2020/2021

Codice attività didattica
MAT0230
Docente
Prof. Dario Martelli (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Mista
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Data dell'appello da concordare con il docente (tramite mail o telefonicamente)
Prerequisiti
Gli studenti dovrebbero aver incontrato precedentemente la teoria della relatività generale ed avere familiarità con i concetti di simmetria e le associate leggi di conservazione in teorie di campo Lagrangiane (classiche) relativistiche. Inoltre gli studenti dovrebbero essere a conoscenza di nozioni di base di gruppi e algebre di Lie e loro rappresentazioni, a livello di un corso introduttivo di fisica.

Students are expected to have encountered previously the theory of general relativity and to have some familiarity with the concept of symmetry and associated conservation laws in (classical) relativistic Lagrangian field theories. Moreover, they are also expected to be aware of Lie groups and algebras, and basic notions of their representation theory, at a level of an introductory physics course.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire un'introduzione alle teorie supersimmetriche di gravità, presentate come evoluzione della teoria delle relatività generale. Il corso ha come motivazioni principali da una parte lo studio di aspetti formali, prevalentemente geometrici, delle teorie di supergravità e dall'altra l'applicazione alla corrispondenza AdS/CFT (anti de Sitter/Conformal Field Theory), che riveste un ruolo di primo piano nell'ambito delle fisica teorica contemporanea. Il corso include anche richiami di nozioni di geometria differenziale, in particolare geometria Riemanniana, necessari per la costruzione e lo studio delle teorie discusse. Alla fine del corso, gli studenti dovranno aver assimilato le idee principali e gli strumenti formali necessari per poter approfondire in maniera autonoma gli argomenti trattati, sia dal punto di vista della fisica teorica che da quello delle applicazioni a problemi di natura geometrica.

The aim of this course is to provide an introduction to supersymmetric theories of gravity, presented as an evolution of general relativity. The course has as main motivations on the one hand the study of formal, mainly geometric, aspects of supergravity theories and on the other hand the application to the AdS/CFT (anti de Sitter/Conformal Field Theory) correspondence, that plays a pivotal role in contemporary theoretical physics. The course includes also reminders to notions from differential geometry, in particular Riemannian geometry, necessary for the construction and the study of the theories discussed. At the end of the course, the students are expected to have absorbed the key ideas and the formal tools needed in order to deepen independently the topics treated, both from the point of view of theoretical physics and from that of applications to problems of geometric nature.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Comprensione della supergravità in diverse dimensioni spazio-temporali e consapevolezza delle relazioni con la teoria delle super-stringhe. Capacità di effettuare calcoli che coinvolgono metriche, forme differenziali, connessioni e campi spinoriali, quali ad esempio la dimostrazione dell'invarianza di alcune Lagrangiane di supergravità sotto trasformazioni di supersimmetria. Capacità di analizzare le equazioni per "spinori di Killing" associate all'invarianza sotto supersimmetria locale e la geometria che ne consegue. Comprensione delle caratteristiche di classi di geometrie supersimmetriche e loro applicazioni, incluso buchi neri supersimmetrici e applicazioni alla corrispondenza AdS/CFT. 

Understanding of supergravity in various space-time dimensions and awareness of the relationships with superstring theory. Ability to perform calculations involving metrics, differential forms, connections and spinorial fields, as for example the proof of invariance of some supergravity Lagrangians under supersymmetry transformations. Ability to analyse the Killing spinor equations associated to invariance under local supersymmetry and the related geometry. Understanding of features of classes of supersymmetric geometries and their applications, including supersymmetric black holes and applications to the AdS/CFT correspondence. 

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Programma

Preliminari di fisica e matematica: simmetrie e leggi di conservazione, forme differenziali, derivate di Lie, base ortonormale, connessione di spin, torsione, spinori, algebre di Clifford, spinori su varietà curve, supersimmetria. Teorie di supergravità: supergravità pura in quattro dimensioni, supergravità minimale "gauged" in quattro dimensioni, supergravità di tipo II in dieci dimensioni, l'unica supergravità in undici dimensioni. Relazioni con la teoria delle super-stringhe. Soluzioni supersimmetriche e geometria conseguente: equazioni per gli spinori di Killing, condizioni di integrabilità, lo spazio-tempo di anti de Sitter, varietà di Calabi-Yau, soluzioni di D-brane, varietà di Sasaki-Einstein, buchi neri supersimmetrici. Introduzione alla corrispondenza AdS/CFT: enunciato della corrispondenza, relazione tra le simmetrie, la formula "master" della corrispondenza olografica. Applicazioni, incluso: l'azione "on-shell", l'anomalia di Weyl olografica, buchi neri in AdS. Tempo permettendo, alcuni argomenti più avanzati. 

Physics and mathematics preliminaries: symmetries and conservation laws, differential forms, Lie derivatives, orthonormal frame, spin connection, torsion, spinors, Clifford algebras, spinors on curved manifolds, supersymmetry. Supergravity theories: pure supergravity in four dimensions, minimal gauged supergravity in four dimensions, type II supergravities in ten dimensions, the unique supergravity in eleven dimensions. Relations to superstring theory. Supersymmetric solutions and related geometry: Killing spinor equations, integrability conditions, anti de Sitter space-time, Calabi-Yau manifolds, D-brane solutions, Sasaki-Einstein manifolds, supersymmetric black holes. Introduction to the AdS/CFT correspondence: statement of the correspondence, matching of symmetries, the "master" formula of the holographic correspondence. Applications, including: the "on-shell" action, the holographic Weyl anomaly, black holes in AdS. Time permitting, some more advanced topics. 

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali (subordinato all'evoluzione dell'emergenza sanitaria nel corso del 2021).

Taught classes (subject to the evolution of the sanitary emergency during 2021).

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Problemi assegnati da svolgersi in autonomia (a casa) e esame orale finale con voto, su argomenti da concordare con il docente del corso. 

Handed problem sheets (homework) and final oral exam with score, on topics to be agreed with the teacher of the course.

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Testi consigliati e bibliografia

D. Z. Freedman and A. Van Proeyen, "Supergravity", Cambridge University Press, 2012

M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics", Taylor & Francis, 2003

D. Z. Freedman and A. Van Proeyen, "Supergravity", Cambridge University Press, 2012

M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics", Taylor & Francis, 2003

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Note

Le modalità di erogazione del corso e di esame sono da confermare e subordinate all'evoluzione dell'emergenza sanitaria nel corso del 2021. Ulteriori dettagli saranno comunicati durante i prossimi mesi, in accordo con le linee guida di Ateneo in vigore in prossimità dell'inizio del corso. 

The type of lectures and the details of the exam are to be confirmed and are subject to the evolution of the sanitary emergency during 2021. Further details will be given during the next few months, in agreement with the University guidelines in force near the beginning of the course.

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Ultimo aggiornamento: 28/07/2020 11:30

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