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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

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Advanced Probability

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Anno accademico 2021/2022

Codice attività didattica
MAT0200
Docenti
Prof. Elvira Di Nardo (Titolare del corso)
Dr. Elena Issoglio (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Un insegnamento di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica. Una discreta capacità nel risolvere problemi di calcolo delle probabilità di livello di base.
An undergrauate level class of Probability and good abilities in real analysis are necessary to understand Advanced Probability. Good abilities in elementary probabilistic problem solving are also necessary for the success in this class.
Propedeutico a
Gli insegnamenti di Processi Stocastici, Statistica dei processi stocastici e EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche utilizzano concetti e metodi introdotti in questo insegnamento
Stochastic Processes, Statistics for Stochastic Processes and EDS-Stochastic Dfferential Equations make use of concept and tools introduced in this course.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

I temi e gli strumenti presentati sono parte essenziale della formazione di un matematico moderno, sia di natura teorica che applicativa. All'inizio delle lezioni, vengono presentate tematiche già incontrate negli studi triennali, affrontandole a un livello più astratto. In tal modo, oltre a rafforzare le conoscenze di base, l'insegnamento offre la possibilità di acquisire competenze su alcuni metodi tipici della teoria avanzata del calcolo delle probabilità, utili sia per applicazioni che per attività di ricerca. Tali metodi implicano lo sviluppo di un nuovo livello di astrazione necessario per affrontare argomenti più complessi. Le esercitazioni mirano a migliorare le capacità di problem solving. Il lavoro richiesto per questo insegnamento è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi.

The arguments and tools presented in this class are essential for the training of a modern mathematician: be it of theoretical or of applicative nature. A new level of abstraction is needed to be developed with the aim to tackle more complex topics. At the beginning, the elementary arguments of the probability theory are presented, addressed at a more abstract level. In this way, not only  basic knowledge is rethought, but new skills are acquired on some methods typical of advanced probability theory, useful both for applications and for research activities. The exercises aim to improve problem solving skills. The work required is a useful first step for the development of a flexible mindset, useful for third level studies or for entering different work environments.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine delle lezioni, gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell'impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali vettori Gaussiani, le attese condizionali, le proprietà di convergenza, le funzioni caratteristiche e le martingale. Sono in grado di dimostrare autonomamente risultati che derivano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.

At the end of the lectures, students attain a detailed knowledge of the foundations of the theory of probability and related topics in measure theory. They attain good ability in probabilistic problem solving being able to deal both with theoretical and applied problems related with conditional expectation, convergence features, characteristic functions and martingales. They become able to prove  new results related with the studied theory, furthermore they become able to learn using different textbooks.

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Programma

Richiami di calcolo delle probabilità; costruzione di misure di probabilità  e variabili aleatorie; integrazione rispetto a misure di probabilità; kernel di transizione; variabili aleatorie indipendenti; leggi 0-1; misure prodotto e distribuzioni su R^n;  somme di variabili aleatorie.  Convergenza di variabili aleatorie: quasi certa, in probabilità, in distribuzione, in media. Convergenza e funzioni caratteristiche: leggi dei grandi numeri e teorema del limite Centrale (richiami). Attese condizionate e distribuzioni condizionate. Martingale a tempo discreto, tempi di arresto e scomposizione di Doob. Diseguaglianze di martingala e proprietà di convergenza per martingale a tempo discreto. 

Overview of elementary probability. Construction of probability measures and random variables. Integrals over probability measures. Transition kernels. Independent random variables. 0-1 Laws. Product measures and distributions on Rn. Sums of random variables.  Convergence of sequences of random variables: almost sure, in probability, in distribution, in mean. Weak convergence and characteristic functions: laws of large numbers and central limit theorem. Conditional expectation and probability. Discrete time martingales, stopping time. Doob decomposition and martingale inequalities. Convergence properties of discrete time martingales. 

 

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento comprende 72 ore di lezioni di cui 16 ore sono di esercitazioni.

Il corso avrà inizio il 20 Settembre in presenza e proseguirà secondo calendario. Sarà disponibile un collegamento webex per seguire le lezioni a distanza sulla pagina Moodle del corso. E' vivamente consigliata l'iscrizione al corso sia su Campunet che su Moodle.   

There will be 72 hours of lessons, including 16 hours of in class exercises.

The course will start on September 20th and will continue according to the calendar. To follow the lectures remotely, a webex link will be available on the Moodle page of the course. It's highly recomended to enroll in the course on Campusnet and Moodle.  

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto. Voto in trentesimi. La prova scritta richiede la soluzione di esercizi e il superarla è requisito indispensabile per essere ammessi alla prova orale. La prova orale comprende una discussione sulla prova scritta e la risposta a due domande. Durante la prova scritta si può consultare il libro di testo.

Final exam includes written and an oral tests. The two tests are scheduled on different dates. The mark is out of thirty. Written test hold untill the next oral exam. Written test requests the solution of two exercises and is mandatory to pass this test to be admitted to the oral test.The oral examination includes a discussion on the written test as well as the answer to two question. Students can use textbook during the written test

 

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Attività di supporto

L'insegnamento prevede lezioni ed esercitazioni. Durante le lezioni vengono assegnati degli esercizi, e poi discusse successivamente le soluzioni.

The course include exercises classes and extra exercises are suggested as homework.

Testi consigliati e bibliografia

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Libro di testo:

Cinlar Probability and Stochastics Springer


Ulteriori letture suggerite:

Probability and Measure, P. Billingsley

Measures, Integrals and Martingales, R.L. Schilling 

Probability, A. Shiryaev

Per l'argomento Vettori Gaussiani si vedano anche i files disponibili nel materiale didattico del corso

Textbook: Cinlar Probability and Stochastics Springer

Further suggested books:

Probability and Measure, P. Billingsley

Measures, Integrals and Martingales, R.L. Schilling 

Probability, A. Shiryaev

Some materials on Gaussian random vectors can be downloaded from the webpage of the course.



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Note

Modalità di verifica/esame: Esame scritto e orale.

 

 

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
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    Ultimo aggiornamento: 08/09/2021 06:08

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