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Statistica dei Processi Stocastici

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STATISTICS OF STOCHASTIC PROCESSES

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN0561
Corso di studio
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno, 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Inglese
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Buona conoscenza della teoria della probabilità e degli strumenti di base dei processi stocastici. In particolare è necessario conoscere
- legge dei grandi numeri e teoremi del limite centrale
- teoria della misura
- medie condizionate
- spazi L^p rispetto a una misura di probabilità
- Spazi di Hilbert (nei testi di riferimento vi sono note a riguardo)
Good knowledge of probability theory and the basics of stochastic processes. In more details you will need
- laws of large numbers and central limit theorems
- measure theory
- conditional expectations
- L^p spaces with respect to a probability measure
- Hilbert spaces (some introductory material on this topic is present in the text books)
Mutuato da
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Obbiettivo delle lezioni è di introdurre l'inferenza statistica per le serie storiche prendendo in considerazione gli aspetti teorici/matematici e le loro applicazioni nell'analisi dei dati.

Vengono introdotti gli strumenti matematici necessari per provare le proprietà asintotiche degli stimatori quali la consistenza e la asintotica normalità

Per le serie storiche vengono presentate le proprietà, il comportamento asintotico, stima e strumenti predittivi, quali la decomposizione nella componente di trend e nella componente stagionale. Tali concetti sono applicati all'analisi di dati simulati o di database esistenti in modo da proporre e validare un modello che supporti i dati. 

 The goal of lectures is to introduce statistical inference for stochastic processes (e.g. time series) taking into account both the theoretical/mathematical aspects and their practical application to data analysis.

We introduce the mathematical tools needed to prove asymptotic properties of estimators such as consistency and asymptotic normality in the framework of stochastic processes.

Then time series are considered, aiming to characterize properties, asymptotic behavior, estimations and forecasting, as well as decomposition in trend and seasonal components. Such concepts are applied to the analysis of simulated data or existing databases in order to infer and validate a model supporting the data. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Alla fine del corso, gli studenti avranno acquisito gli strumenti per comprendere come costruire un modello per una serie storica con particolare attenzione alla previsione del modello, alla stima dei momenti, dello spettro e dei parametri del modello.

Inoltre saranno quali sono gli strumenti principali dell'analisi di un dataset e quali sono gli strumenti disponibili per questo scopo:

- statistica descrittiva, momenti e stima dello spettro
- formulazione del modello, stima dei parametri, selezione del modello e test
- previsioni

 At the end of the course, students will have understood how to model time series with focus on forecasting and estimation of the moments, of the spectrum and of the parameters of time series models.

Moreover they will know which are the main steps of the analysis of a dataset, and which tools are available to this aim:
- descriptive statistics, moment and spectrum estimation
- formulation of models, parameter estimation, model selection, model verification
- forecasting

Moreover they will know which are the main steps of the analysis of a dataset, and which tools are available to this aim:

- descriptive statistics, moment and spectrum estimation

- formulation of models, parameter estimation, model selection, model verification

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Programma

Serie storiche: processi ARMA, covarianza e spettro. Stima del trend. Metodi per rimuovere il trend. Componenti stagionali e periodicità. Filtro lineare. Causalità e smoothing. Metodi ed algoritmi ricorsivi per il calcolo di predittori lineari: algoritmo di Durbin-Levinson e delle innovazioni. Rappresentazione spettrale di processi semplici. Teorema di Herglotz. Densità spettrale e relazione con le funzioni caratteristiche e con la loro inversione in probabilità. Densità spettrale per processi ARMA. Applicazioni della densità spettrale per ottenere modelli invertibili e casuali. Integrali stocastici: definizioni, esistenza, esempi, proprietà, relazioni con la distribuzione spettrale. Rappresentazione spettrale di processi stazionari con integrali stocastici e applicazioni predittive di ARMA. Stima della media, covarianza e autocorrelazione parziale. Stima dell'ordine del polinomio autoregressivo e a media mobile. Stima dei parametri. Periodogramma. Teoria asintotica: variabili m-dipendenti e teoremi centrali. In laboratorio: simulazione e analisi statistica di serie storiche.

 Time series: ARMA processes, covariance and spectrum. Estimation and elimination of trend, seasonal components and periodicities. Linear filtering, causality and smoothing. Recursive methods for computing the best linear predictors: Durbin-Levinson algorithm, innovations algorithms. 

Spectral representation of simple processes. Herglotz Theorem. Spectral density, the relation to characteristic functions and their inversion in probability. Computing the spectral density for ARMA models. Applying the spectral density to obtain causal invertible models. Stochastic integrals: definition, existence, examples, properties, relation to spectral distributions. Spectral representation of stationary processes by stochastic integrals and applications to prediction in ARMA. Estimation of the mean, the covariance, the partial autocorrelation. Estimation of the parameters and model selection. Diagnostic tools. Asymptotic theory: m-dependent variables and the associated CLT. Computer lab: simulation and statistical analysis of time series with R. 

 

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Modalità di insegnamento

 Le lezioni si svolgono prevalentemente in aula, ma sono previste anche lezioni in laboratorio. Durante queste lezioni, verranno alternate presentazioni formali degli argomenti, includendo dimostrazioni e dettagli tecnici, con una parte più informale dove verranno introdotti dei concetti utili per l'analisi del data sets. Nel laboratorio verrà utilizzato il software R per simulare ed analizzare datasets relativi a serie storiche di tipo ARMA o ad altri processi semplici. Verranno introdotti ed utilizzati alcuni pacchetti software utili alla simulazione, decomposizione e previsione delle serie.

 We will mainly deliver frontal lectures, but a computer lab is also included. During the lectures we will alternate a formal presentation of some topics, including proofs and technical details, with a more informal part where we will introduce some concepts that are useful for the analysis of data sets. In the computer lab we will use R to simulate and analyse datasets from ARMA processes or existing databases. We refer to some particular packages useful to deal with simulations, decompositions and forecasting.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Per coloro che portano programmi relativi ad anni accademici precedenti:

a.a.<2015/16: inviare una e-mail al docente del corso una settimana prima la prova scritta per concordare le modalità di verifica

a.a.=2015/16: una prova scritta in laboratorio seguita dalla scrittura di un breve saggio su uno degli argomenti trattati dal docente dell'a.a. 2015/16.
La valutazione finale mediante regolare prova orale avverrà un paio di giorni dopo la correzione delle prove scritte.

a.a.=2016/17: una prova scritta in laboratorio seguita dalla scrittura di un breve saggio su uno degli argomenti trattati dal docente di chiara fama invitato per l'a.a. 2016/17. La valutazione finale mediante regolare prova orale avverrà un paio di giorni dopo la correzione delle prove scritte. 

 Who wants to be examined on the syllabus of

a.a.<2015/16: send an e-mail to the teacher, one week before the practical session, to organize the methods

a.a.=2015/16: a practical session on the analysis of a dataset in the computer lab is followed by writing a short essay on one of the arguments introduced during the a.a. The final evaluation with a regular oral examination will be after the correction of this essay and the analysis in the computer lab a couple of days later.

a.a.=2016/17: a practical session on the analysis of a dataset in the computer lab is followed by writing a short essay on one of the arguments introduced by the prof of the highest repute. The final evaluation with a regular oral examination will be after the correction of this essay and the analysis in the computer lab a couple of days later.

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Attività di supporto

Lezioni in aula informatizzata.
Computer lab.

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Testi consigliati e bibliografia

 Le lezioni non seguiranno un unico libro di testo, ma gli studenti possono trovare materiale sugli argomenti trattati a lezione su diversi libri. Durante le lezioni viene indicato di volta in volta il testo di riferimento.

- Brockwell and Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, Second Edition. Springer texts in statistics. 2002

- Brockwell and Davis, Time Series, theory and methods, Springer (collana SSS), New York, 1991

- Priestley, Spectral Analysis and Time Series, Academic Press, Vol I, 1981

- Shumway and Stoffer, Time series Analysis and Its Applications, Springer, 2011.

Per il laboratorio fare riferimento a www.stat.pitt.edu/stoffer/tsa4/ 

 Lectures will not adhere to the material of any single text, but the students can find material on the topics we teach on different books. References for each topic will be made available during the course.

- Brockwell and Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, Second Edition. Springer texts in statistics. 2002

- Brockwell and Davis, Time Series, theory and methods, Springer (collana SSS), New York, 1991

- Priestley, Spectral Analysis and Time Series, Academic Press, Vol I, 1981

- Shumway and Stoffer, Time series Analysis and Its Applications, Springer, 2011.

For the Lab, refer to www.stat.pitt.edu/stoffer/tsa4/

 

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Orario lezioniV

Registrazione
  • Aperta
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    Ultimo aggiornamento: 04/06/2019 10:42

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