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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 270) - a.a. 2013/14

Oggetto:

Advanced Probability

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Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica
MFN0513
Docente
Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
Un corso di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica
Propedeutico a
Processi Stocastici, Statistica dei Processi Stocastici
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dei concetti fondanti del Calcolo delle Probabilità, soffermandosi in particolare sulle proprietà delle variabili aleatorie e delle loro successioni. Si intende fornire agli studenti una rivisitazione di alcuni degli argomenti principali del Calcolo delle Probabilità utilizzando gli strumenti della Teoria della Misura e porli quindi in grado di trattare problemi probabilistici di carattere sia teorico che applicativo con metodologie avanzate.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso costituisce un primo passo  teoria delle martingale costituisce un primo tema specialistico di grande interesse per le applicazioni soprattutto finanziarie (obiettivo 5) e sono uno strumento indispensabile per la ricerca in mbito stocastico (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni teoremi (obiettivo 9)

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura istituzionale del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione  regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell’impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali le attese condizionali, le proprietà di convergenza, le funzioni caratteristiche e le martingale.

Sono in grado di dimostrare autonmamente risultati che discendano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto 

Scritto e orale in giorni distinti. La prova scritta si svolge in due ore e prevede la soluzione di due esercizi su tre proposti.

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Attività di supporto

Il corso prevede lezioni ed esercitazioni. DUrante il corso viene suggerita la soluzione di esercizi assegnati

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Programma

 

Richiami di calcolo delle probabilità; Costruzione di misure di probabilità su R e variabili aleatorie; Integrazione rispetto a misure di probabilità; Variabili aleatorie indipendenti; Distribuzioni su Rn;  Somme di variabili aleatorie.; Leggi 0-1; Variabili aleatorie Gaussiane multivariate, Convergenza di variabili aleatorie; Convergenza debole e funzioni caratteristiche; Leggi dei grandi numeri e Teorema del limite Centrale (richiami); Attese Condizionate; Martingale a tempo discreto, optional stopping e scomposizione di Doob.

Proprietà di convergenza per Martingale a tempo discreto; Cenni alle martingale a tempo continuo; Teorema di Radon-Nikodym.

 

Overview of elementary probability. Construction of probability measures on R and random variables. Integrals over probability measures. Independent random variables. Distributions on Rn. Sums of random variables. 0-1 Laws. Multivariate Gaussian random variables. Convergence of sequences of random variables. Weak convergence and characteristic functions. Laws of large numbers and central limit theorem. Conditional expectations. Discrete time martingales, optional stopping and Doob decomposition.

Convergence properties of discrete time martingales. Introduction to continuous time martingales. Radon-Nikodym theorem.

Testi consigliati e bibliografia

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Jacod - Protter, Essentials in Probability Ulteriori letture: Williams, Probability with Martingales;

Shiryaev, Probability; Billingsey Probability and Measure; Feller Introduction to Probability Theory and Applications.

Varadhan Probability Theory. AMS

Per l'argomento Variabili Aleatorie Gaussiane e Sistemi Gaussiani si vedano anche i files disponibili nel materiale didattico del corso



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Note

ISTITUZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA', MFN0513 (DM 270), 9 CFU: 9 CFU, MAT/06, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione modellistico-applicativa. Modalità di verifica/esame: Esame scritto e orale congiunto.

 

AVVISO: il corso inizia il 3 OTTOBRE (il primo ottobre non c'è lezione)

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Ultimo aggiornamento: 27/03/2015 09:32