- Oggetto:
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Complementi di Geometria
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Topics in Geometry
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Anno accademico 2021/2022
- Codice dell'attività didattica
- MAT0183
- Docente
- Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Nozioni di base sulle varietà differenziabili.Basic notions on smooth manifolds. - Oggetto:
Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Il corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base su gruppi di Lie, algebre di Lie e loro rappresentazioni, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, quali: la geometria differenziale, la fisica matematica e teoria delle rappresentazioni.
The course aims to provide to the students the basic concepts of Lie groups, paying particular attention to the examples. These concepts are preparatory to different topics, such as: differential geometry, mathematical physics and representation theory.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:
conoscere le proprietà fondamentali dei gruppi di Lie e algebre di Lie;
saper risolvere esercizi su esempi significativi.
At the end of the course the student is expected to:
learn the fundamental properties of Lie groups;
be able to solve exercises on significant examples.
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Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa.
The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste nello svolgimento di esercizi, in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. La preparazione sarà considerata adeguata (con votazione espressa in trentesimi), se lo studente dimostrerà padronanza delle terminologie e tecniche specifiche di questo insegnamento. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l’esame in inglese.
The Oral exam consists in solving exercises, in questions about theory and proofs presented in the course. The preparation will be considered adequate (and marked by a 30-point scale), if the student will demonstrate mastery of terminology and of the specific techniques of this teaching. Foreign students are allowed to take the exam in English.
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Programma
Gruppi di Lie e spazi omogenei. Teoremi di Lie e Engel per algebre di Lie nilpotenti e risolubili. Algebre di Lie semisemplici. Criterio per la semisimplicità. Decomposizione semisemplice di Levi di un'algebra di Lie nel suo radicale e fattore semisemplice. Struttura dei gruppi complessi classici: toro massimale, radici, rappresentazione aggiunta, gruppo di Weyl. Teoria dei pesi massimali per rappresentazioni di algebre di Lie semisemplici.
Lie groups and homogeneous spaces. Lie and Engel theorems for nilpotent and solvable Lie algebras. Semisimple Lie algebras. Criteria for teh semisimplicity. Levi semisimple decomposition in its radical and semisimple factor. Structure of classical complex groups:maximal torus, roots, adjoint representation, Weyl group. Theory of maximal weights for representations of semisimple Lie algebras.
Testi consigliati e bibliografia
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J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.
A.W.Knapp, Lie groups and Lie algebras beyond an introduction, Birkhauser.
J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.
A.W.Knapp, Lie groups and Lie algebras beyond an introduction, Birkhauser.
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Orario lezioni
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Note
Il programma del corso, a seconda dell'anno accademico, verterà su uno dei seguenti tre argomenti:
1 - Geometria Complessa: Richiami di analisi complessa, varietà complesse, varietà analitiche ed algebriche e varietà proiettive. Fasci, fasci coerenti e coomologia di fasci. GAGA dualità. Richiami su superfici di Riemann compatte. Applicazione dei metodi suddetti.
2 - Gruppi di Lie: Gruppi di Lie e spazi omogenei. Teoremi di Lie e Engel per algebre di Lie nilpotenti e risolubili. Algebre di Lie semisemplici. Criterio per la semisimplicità. Decomposizione semisemplice di Levi di un'algebra di Lie nel suo radicale e fattore semisemplice. Struttura dei gruppi complessi classici: toro massimale, radici, rappresentazione aggiunta, gruppo di Weyl. Teoria dei pesi massimali per rappresentazioni di algebre di Lie semisemplici.
3 - Geometria Computazionale: Basi di Groebner
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