- Oggetto:
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Geometria Algebrica
- Oggetto:
Algebraic Geometry
- Oggetto:
Anno accademico 2015/2016
- Codice dell'attività didattica
- MFN0498
- Docente
- Prof. Cinzia Casagrande (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Gli insegnamenti di algebra e geometria della laurea triennale in matematica, e Istituzioni di Geometria Superiore.
Altri insegnamenti della laurea magistrale che può essere utile avere seguito o seguire in parallelo sono Teoria degli Anelli Commutativi e Geometria Superiore.The courses in algebra and geometry of the "laurea triennale", and "Istituzioni di Geometria Superiore".
Other courses of the master which may be useful are "Teoria degli Anelli Commutativi" and "Geometria Superiore". - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento vuole dare un’introduzione alla geometria algebrica tramite lo studio delle varietà quasi-proiettive su un campo k (essenzialmente nel caso in cui k è algebricamente chiuso). A tale scopo verranno introdotte prima le varietà affini, poi quelle proiettive e quasi-proiettive, e le mappe regolari e razionali. Verranno poi studiate le prime proprietà delle varietà algebriche, sia globali (irriducibilità, dimensione, equivalenza birazionale) che locali (spazio tangente e singolarità). Per aiutare gli studenti a familiarizzarsi con l’argomento, verranno presentati numerosi esempi ed esercizi, in parte svolti in classe, in parte lasciati da svolgere agli studenti. L'argomento ha legami importanti con l'algebra commutativa e la geometria complessa (nel caso in cui k e' il campo dei numeri complessi), che saranno evidenziati nell'insegnamento.The goal of the course is to give an introduction to algebraic geometry through the study of quasi-projective varieties over a field k (essentially in the case where k is algebraically closed). To this aim, we will introduce first affine varieties, then projective and quasi-projective varieties, and regular/rational maps. Then we will study the first properties of algebraic varieties, both global (irreducibility, dimension, birational equivalence) and local (tangent space and singularities). In order to help the students to get acquainted with the subject, we will present several examples and exercises, in part solved during the lectures, in part left as homework. The subject has important connections with commutative algebra and complex geometry (in the case where k is the field of complex numbers), which will be highlighted during the course.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente che completerà con successo questo insegnamento:- conoscerà gli elementi basilari della geometria algebrica affine e proiettiva, incluse le nozioni di singolarità, dimensione ed equivalenza birazionale;
- avrà familiarità con esempi espliciti che includano curve piane, superfici quadriche e cubiche, la grassmanniana delle rette in P3, la varietà di Veronese e la varietà di Segre;
- avrà approfondito la conoscenza di anelli commutativi finitamente generati e del loro campo dei quozienti;
- sarà in grado di formulare e dimostrare risultati di base sulle varietà algebriche espressi in un linguaggio matematico rigoroso;
- sarà in grado di mettere in relazione la nozione di varietà algebrica complessa con le nozioni di varietà topologica/differenziabile reale/complessa.
The student who successfully complete this course will:- know the basic elements of affine and projective algebraic geometry, including the notions of singularities, dimension and birational equivalence;
- be familiar with explicit examples including plane curves, quadric and cubic surfaces, the grassmannian of lines in P3, the Veronese variety and the Segre variety;
- have deepened his knowledge of finitely generated commutative rings and their fraction field;
- be able to state and prove basic results on algebraic varieties, expressed in a rigorous mathematical language;
- be able to relate the notion of complex algebraic variety with the notions of topological/real differentiable/complex manifold.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. Durante le lezioni verranno proposti agli studenti degli esercizi da svolgere a casa; alcune lezioni saranno dedicate alla discussione con gli studenti di questi esercizi.The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching. During the lectures some exercises will be proposed to the students as homework; some lectures will be devoted to the discussion with the students of these exercises.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale.La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esempi presentati nell'insegnamento.
The exam consists in an oral examination.The oral examination consists in questions dealing with the theory , the proofs, and the examples presented in the course.
- Oggetto:
Programma
Varietà affini. Chiusi algebrici affini, topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Irriducibilità e scomposizione in irriducibili. Funzioni regolari, morfismi e isomorfismi.Varietà proiettive e quasi-proiettive. Topologia di Zariski sullo spazio proiettivo, Nullstellensatz proiettivo, decomposizione in irriducibili. Funzioni e applicazioni regolari e razionali; equivalenza birazionale. Prodotti di varietà quasi-proiettive.
Dimensione. Estensioni di campi, grado di trascendenza, dimensione di una varietà quasi-proiettiva; equivalenza tra diverse definizioni. Dimensione di un chiuso, di un prodotto, delle fibre di un morfismo.
Proprietà locali: spazio tangente e singolarità. Anello locale e spazio tangente in un punto. Punti singolari, dimensione locale.
Esempi, applicazioni, complementi. Grado di una varietà proiettiva, teorema di Bezout. Curve razionali normali. Immersioni di Veronese e di Segre. Varietà delle coniche proiettive piane. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di P3. Caso complesso: struttura complessa su varietà quasi-proiettive complesse non singolari.
Affine varieties. Closed algebraic subsets, Zariski topology. Hilbert's Nullstellensatz. Irreducibility and decomposition in irreducible components. Regular functions, morphisms and isomorphisms.Projective and quasi-projective varieties. Zariski topology on the projective space, projective Nullstellesatz, decomposition in irreducible components. Regular and rational functions and maps; birational equivalence. Products of quasi-projective varieties.
Dimension. Field extensions, transcendence degree, dimension of a quasi-projective variety; equivalence between different definitions. Dimension of a closed subset, of a product, of the fibers of a morphism.
Local properties: tangent space and singularities. Local ring and tangent space at a point. Singular points, local dimension.
Examples, applications, complements. Degree of a projective variety, Bezout's theorem. Rational normal curves. Veronese and Segre embeddings. The variety of plane projective conics. Projections. Blow-ups. A brief duscussion about rational and unirational varieties. Grassmannians and the Plücker embedding. Examples of enumerative geometry: lines on a surface in P3. The complex case: the complex structure on a smooth complex quasi-projective variety.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Second Edition, volume 1 - Varieties in Projective Space, Springer, 1988.
Hulek, Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society, 2003.
Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Mathematical Society, 1989.
Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
Un testo per chi vuole approfondire:
Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977.Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Second Edition, volume 1 - Varieties in Projective Space, Springer, 1988.Hulek, Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society, 2003.
Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Mathematical Society, 1989.
Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
A deeper textbook on the subject:
Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977. - Oggetto:
Orario lezioni
Giorni Ore Aula - Oggetto:
Note
La pagina web dell'insegnamento è su moodle e contiene informazioni più dettagliate, in particolare il diario delle lezioni. Si invitano gli studenti ad iscriversi al corso moodle per ricevere eventuali avvisi.In caso di sovrapposizioni con altri insegnamenti, il docente è disponibile a cercare un orario soddisfacente per tutti; se ne discuterà alla prima lezione.
The web page of the course is on moodle and contains more detailed information, in particular a daily record of the lectures. All students are invited to register to the course on moodle in order to receive any news concerning the course.In case of overlapping courses, the professor is willing to look for a schedule which is satisfying for everybody; we will talk about this at the first lecture.
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