- Oggetto:
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Sistemi Dinamici e Teoria del Caos (DM 270) - a.a. 2009/10
- Oggetto:
Anno accademico 2009/2010
- Codice dell'attività didattica
- MFN0560
- Docente
- Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/07 - fisica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di ampliare le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti, rispetto a quanto svolto nei corsi di laurea di I livello, e di fornire un'introduzione ai sistemi caotici, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica, economia, dinamica delle popolazioni.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Saper interpretare da un punto di vista modellistico le equazioni che definiscono un sistema dinamico (continuo o discreto). Saper analizzare qualitativamente il comportamento del sistema in dipendenza dei parametri. Paragonare il comportamento previsto dallanalisi qualitativa con i risultati numerici ottenuti al computer. Comprendere, in un certo numero di casi, quale classe di sistemi dinamici ammette un determinato comportamento. Comprendere il concetto di sistema deterministico caotico.- Oggetto:
Programma
- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel corso della LT. Definizione di stabilità (Liapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.
- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica. Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate. Definizioni di dimensione frattale.
- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed eterocline. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.
- Biforcazioni di mappe continue. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti da parametri. Applicazioni a modelli reali.
- Aspetti geometrico-differenziali e topologico-differenziali: sistemi dinamici su varietà, campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Trasversalità e teoria dell'intersezione, grado topologico di una mappa, numero di Lefschetz di una mappa e indice di un campo vettoriale.
- Cenni ai modelli di evoluzione di grandezze distribuite nello spazio: evoluzione di popolazioni, equazione del traffico, modelli di reazione-diffusione.
- Review of elementary notions on discrete and continuous dynamical systems. Stability of critical points and Liapunov theorems.
- Bifurcations of iterated maps. Topological conjugacy of maps; Bernoulli shift and symbolic dynamics. Chaotic maps. Metric entropy and topological entropy of maps. Invariant sets of iterated maps. Fractals and fractal dimensions.
- Review of planar autonomous ODEs: classification of phase portraits. Qualitative analysis of nonlinear autonomous systems. Stable and unstable manifold of a saddle point. Homoclines and eteroclines. Poincaré-Bendixson theorem.
- Bifurcations of ODEs. Structural stability. Concrete examples from physics, biology, social sciences.
- Global behavior of ODEs: relation with differential geometry and topological geometry. Dynamical systems on differentiable manifolds, vector fields as sections of the tangent bundle. Introduction to transversality and intersection theory. Degree of a map, Lefschetz number and index of a vector field.
- Introduction to evolution equations for space-dependent quantities: ecology, traffic, reaction-diffusion models.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6.
R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7.
M. Hirsch - S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974, ISBN 0-12-349550-4.
E. Beltrami, Mathematics for Dynamical Modeling, Academic Press 1987, ISBN 0-12-085555-0 - Oggetto:
Note
SISTEMI DINAMICI E TEORIA DEL CAOS, MFN0560 (DM 270), 6 CFU:
6 CFU, MAT/07, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione modellistico-applicativa.Modalità di verifica/esame:
Orale con voto. Per accedere alla prova orale (consistente in un seminario su un argomento concordato con il docente) il candidato dovrà aver svolto alcuni esercizi scritti sull'analisi qualitativa di sistemi dinamici, assegnati durante il corso.Contattare il docente per concordare la data dell'esame.
Si segnala che questo corso, obbligatorio per l'orientamento Modellistico - Probabilistico, potrà essere utilmente seguito anche da chi avesse seguito il corso "Sistemi dinamici e introduzione alla teoria del caos" precedentemente attivo nella laurea triennale (DM 509).
Infatti, nonostante una parziale sovrapposizione di contenuti, questo corso si rivolgerà a un pubblico più maturo e avrà un taglio più avanzato. Alcuni argomenti già trattati nel corso della triennale verranno rivisti anche con nuovi obiettivi, tra cui lo sviluppo di capacità di analisi qualitativa di un sistema dinamico. La verifica delle capacità maturate in tal senso sarà parte integrante della prova d'esame. Inoltre il lavoro di carattere seminariale che completerà la prova d'esame sarà assegnato in base alle competenze pregresse dello studente e si terrà conto di eventuali conoscenze derivanti dal corso della laurea triennale.- Oggetto:
