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MA-Meccanica Analitica (non attivato nel 2017/2018)

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AM-Analytical Mechanics

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Anno accademico 2017/2018

Codice dell'attività didattica
MFN1658
Docente
Prof. Claudia Maria Chanu (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Algebra lineare, calcolo differenziale per funzioni a più variabili, elementi di geometria differenziale, nozioni fondamentali di meccanica prevalentemente fornite dal corso di meccanica razionale


Linear algebra, differential calculus for functions of several variables, basic topics in differential geometry and mechanics, studied in Rational Mechanic course.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti strumenti di carattere geometrico, provenienti dalla geometria differenziale, simplettica e Riemanniana utili per affrontare da un punto di vista avanzato lo studio di sistemi dinamici, in particolare nella formulazione Hamiltoniana. Verranno ripresi gli oggetti geometrico differenziali fondamentali per lo studio della meccanica e le loro proprietà e introdotti gli enti fondamentali di geometrica simplettica. Sarà specialmente approfondito lo studio del caso di sistemi Hamiltoniani definiti su fibrati cotangenti di varietà Riemanniane.

Il corso rivisita, a un livello più astratto,  alcuni argomenti già noti  per rafforzare le conoscenze di base e promuovere un maggiore livello di astrazione; inoltre presenta alcuni argomenti avanzati e collegati a temi di ricerca attuali, fornendo conoscenze specialistiche utili per l'avviamento alla ricerca e per l'applicazione a problemi della Fisica.

The aim of this course is to provide the students with tools of geometric nature -- coming from differential, symplectic and Riemannian geometry -- which are useful to deal with the study of dynamical systems, in particular in the Hamiltonian formulation, from an advanced point of view. Differential geometrical objects that fundamental for the study of mechanics and their properties will be considered. The basic structures of symplectic geometry will be introduced introduced. It will be thoroughly studied the case of Hamiltonian systems defined on cotangents bundles of Riemannian manifolds.

During the lectures, some topics already known are revisited at a more abstract level, in order to enhance  basic knowledge and foster a higher abstraction  level. Moreover, some advanced topics are presented, which are linked to current research in the area, and are useful for applications to Physics, as well as for introducting to research in mathematical physics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Capacità lavorare con campi di vettori, forme differenziali, campi di tensori, metriche, connessioni utilizzando le proprietà della geometria simplettica e Riemanniana nello studio di sistemi Hamiltoniani finito dimensionali.

The student will improve his hability to deal with vector fields, differential forms, tensor fields, metric tensor fields and connections and to use symplectic and Riemannian geometric properties for the study of finite dimensional Hamiltonian systems

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali.
Ampio spazio verrà dato ad esempi più o meno complessi e ad applicazioni, talvolta teoriche, dei concetti introdotti. Spesso gli esempi presentati saranno lasciati come esercizi che lo studente è invitato ad affrontare autonomamente,  utilizzando anche software di calcolo simbolico per esplicitare i risultati.

Frontal lessons.
Several examples  and applications (sometime dealing with theorical aspects)  will presented and proposed as exercices to the students,  also to improve the use of symbolic software to determine explicit results.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale con voto.  Le domande d'esame riguarderanno aspetti teorici e/o possibili applicazioni degli argomenti trattati nel corso. Sarà data allo studente la possibilità di sostenere una parte dell'esame orale discutendo un argomento a sua scelta approfondito autonomamente. Grande importanza viene attribuita alla capacità dello studente di esprimersi in modo matematicamente rigoroso.

Oral examination with mark. Questions will cover both theorical and applicative aspects of the topics presented in the course. The students can begin the exam by presenting a topic of their choice, which has been developped by themselves.   An important parameter in the evaluation will be clear and rigorous exposition.

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Programma

Elementi di calcolo sulle varietà differenziabili:
Campi vettoriali, sistemi dinamici, flussi. Forme differenziali. Varietà simplettiche e di Poisson. Fibrati cotangenti. Sistemi differenziali, distribuzioni, teoremi di Frobenius e Chow. Connessioni. Varietà riemanniane.

 Meccanica lagrangiana:
Equazioni di Lagrange e applicazioni.

 Meccanica hamiltoniana:
Equazioni di Hamilton. Equazione di Hamilton-Jacobi. Integrali completi. Sistemi integrabili. Teorema di Arnold-Liouville. Separazione delle variabili. Applicazioni alla meccanica classica e alla relatività generale.

Basic notions of calculus on manifolds:
Vector fields, dynamical systems, flows. Differential forms. Symplectic and Poisson manifolds. Cotangent bundles. Distributions and Frobenius and Chow theorems. Connections. Riemannian manifolds.

Lagrangian Mechanics:
Lagrange equations and applications

Hamiltonian Mechanics:
Hamilton equations. Hamilton-Jacobi equation. Complete integral, integrable systems, arnold-Liouville theorem. Separation of variables. Applications to classical mechanics and general relativity.

Testi consigliati e bibliografia

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I testi suggeriti per il corso sono in lingua Inglese, per abituare all'uso di tale lingua in ambito scientifico:

1. R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin.
2. W. Thirring, Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory, Springer-Verlag.
3. V. Arnold, Mathematical methods for classical mechanics.
4. S. Benenti, Models of Mathematical Physics (disponibile online)


Ulteriore materiale per specifici approfondimenti sarà consigliato durante il corso.

Basic textbooks:

1. R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin.
2. W. Thirring, Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory, Springer-Verlag.
3. V. Arnold, Mathematical methods for classical mechanics.
4. S. Benenti, Models of Mathematical Physics (accessible online)

Additional material for specific in-depth study will be suggested during the course.



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Orario lezioni

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Note

Modalità di verifica/esame: orale.  Possibilità di erogare il corso in lingua inglese, su richiesta degli studenti. Contattare il docente per concordare la data dell'esame.

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Ultimo aggiornamento: 03/05/2018 11:11

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