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Analisi Superiore (DM 270) - 9 cfu - a.a. 2013/14

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Advanced Analysis

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Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica
MFN1413
Docenti
Prof. Marino Badiale (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
Istituzioni di analisi
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una trattazione della trasformata di Fourier, con applicazioni a diversi spazi funzionali, di approfondire il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue, di costruire famiglie di funzioni che approssimano l'identità di tale prodotto. Vengono inoltre studiati gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz. Si introducono le proprietà fondamentali della trasformata di Laplace, con applicazione alle equazioni differenziali. Il corso si propone infine di fornire agli studenti un approfondimento dei concetti fondanti degli spazi di Sobolev, fornendo alcune applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione. Il corso, rivisitando argomenti di base, come quello di derivata, a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). I testi utilizzati permettono di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso fornisce conoscenze matematiche specialistiche (obiettivo 5) che rappresentano uno strumento fondamentale per l'avviamento alla ricerca nell'ambito dell'Analisi Matematica (obiettivo 9).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione.  Il corso, introducendo nuovi e importanti concetti, accresce la capacità dello studente di riconoscere nuovi problemi in nuovi contesti (obiettivo 1) e di comprendere nuovi problemi riconoscendone gli aspetti essenziali (obiettivo 2). Ovviamente, essendo un corso basato su dimostrazioni di teoremi, accresce la capacità dello studente di sostenere ragionamenti matematici (obiettivo 3), di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici non immediatamente collegabili a quelli già conosciuti (obiettivo 5), di formulare e risolvere problemi anche complessi in diversi campi della matematica (obiettivo 6), di formulare problemi complessi ottimizzandone la soluzione e interpretandola nel contesto del problema originale (obiettivo 9).

Autonomia di giudizio (making judgements). La natura istituzionale del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). I suggerimenti sugli sviluppi successivi degli argomenti trattati  favoriranno l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7).

Abilità comunicative.  L’esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità matematica rigorosa, utile per studi di livello superiore (obiettivo 2).

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza degli strumenti classici dell’analisi di Fourier e di Laplace, con applicazioni agli spazi di Lebesgue e alle equazioni differenziali. Conoscenza delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

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Programma

 

 

La trasformata di Fourier

- Proprietà della trasformata di Fourier sugli spazi di Lebesgue

- Principali proprietà ed operazioni su spazi di Lebesgue

- Spazi vettoriali topologici, spazi di Fréchet, la classe di Schwartz, azione della trasformata di Fourier su tale classe e relazioni con gli spazi di Lebesgue

- La trasformata di Laplace

- Breve introduzione agli spazi di Sobolev

- Alcuni problemi ai limiti ellittici.

 

 

- The Fourier transform

- Action of the Fourier transform on Lebesgue spaces

- Main properties of Lebesgue spaces

- Topological vector spaces. Fréchet spaces. The Schwartz class, action of the Fourier transform on the Schwartz class and relations with Lebesgue spaces

- The Laplace transform

- A brief introduction to Sobolev spaces

- Some elliptic boundary value problem

Testi consigliati e bibliografia

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1) Dispense fornite dai docenti; 2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999. 3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori.



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Note

ANALISI SUPERIORE, MFN1413 (DM 270), 9 CFU: 9 CFU, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata. Modalità di verifica/esame: L'esame consiste di un colloquio orale sugli argomenti svolti a lezione.

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Ultimo aggiornamento: 27/03/2015 09:32

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