Laurea magistrale in Matematica

Non ci sono particolari requisiti, a parte la Laurea in Matematica (triennale).

Il corso di Algebra Computazionale ha quattro finalità principali: 1) Porre le basi per la comprensione delle tecniche attualmente utilizzate nei test di primalità, nella fattorizzazione degli interi e nello studio delle successioni di numeri interi. 2) Evidenziare l'importanza degli aspetti computazionali della Matematica, cioè dei tentativi di rispondere a domande del tipo: "come si fa a ... " 3) Mostrare l'unità della Matematica, attraverso lo studio di problematiche, come il "riconoscimento dei numeri primi", che provengono dall'antichità e che hanno coinvolto molti settori di ricerca: Teoria dei Numeri, Algebra, Analisi, Combinatoria, Geometria ... 4) Dare il giusto rilievo al lato estetico della Matematica, alla sorpresa e alla meraviglia che derivano dai teoremi. E' proprio lo stupore che ha spinto molti grandi matematici, come Eulero e Gauss, a dare diverse dimostrazioni di un medesimo risultato. Ciò che conta non è solo il luogo dove si giunge, ma anche la strada che si fa per arrivarci. Lo studente apprenderà i metodi attuali per determinare la primalità di un intero, la complessità di alcuni problemi algebrici, le utilizzazioni del gruppo delle cubiche, diverse tecniche contemporanee legate alle frazioni continue.

 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Nel corso viene utilizzata una vasta letteratura, e si approfondiscono diverse tematiche in modo rigoroso. Al termine  gli studenti sanno leggere e approfondire articoli che riguardano gli argomenti visti (obiettivo 2). Vengono date conoscenze avanzate utili paer la ricerca (obiettivo 9).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione L'esame consiste in un seminario, svolto su una relazione scritta. Nella prova gli studenti dimostrano di essere in grado di comprendere nuovi problemi riconoscendone gli aspetti essenziali, di sostenere ragionamenti matematici, di iniziare attività di ricerca su tematiche specifiche,  di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici non immediatamente collegabili a quelli già conosciuti (obiettivi 2,3,4,5).

Autonomia di giudizio Gli studenti sono in grado di costruire limpide argomentazioni logiche e di svolgere con chiarezza e precisione ragionamenti complessi, correggendo eventuali errori e colmando lacune (obiettivi 1,2).

Abilità comunicative Il seminario finale aiuta lo studente ad apprendere le metodologie della comunicazione matematica, ad esprimersi in modo corretto, a collegare diverse tecniche e dimostrazioni, a valutare l'importanza relativa delle parti (obiettivi 1,2).

Capacità di apprendimento Coloro che seguono con profitto il corso, possiedono un utile strumento per inserirsi in ambienti di lavoro e per proseguire gli studi (obiettivi 1,2).

Lo studente conoscerà le basi della teoria della Complessità, conoscerà metodi di computazione non convenzionali, e sarà in grado di svolgere ricerche personali nei vari campi trattati.

 

Relazione scritta e seminario di un'ora.

Complessità computazionale. Classi P e NP.

Problema dei numeri primi, teorema di Pratt.

Esistono infiniti numeri primi: dimostrazioni di Euclide, Eulero, Polya, Erdos, Fustenberg…

Per ogni n esistono infiniti primi congrui a 1 modulo n.

Primalità: algoritmi deterministici e non polinomiali, polinomiali e non deterministici, polinomiali e deterministici ma condizionati.

Applicazioni del gruppo delle curve ellittiche alla primalità e alla fattorizzazione.

Il teorema AKS: metodo polinomiale, deterministico e non condizionato.

Il teorema di Nair.

Teoremi di Chebyshev e di Bertrand.

Caratteri dei gruppi abeliani finiti e funzioni L di Dirichlet.

Condizioni equivalenti alle congetture RH e ERH.

Frazioni continue.

Irrazionalità quadratiche.

Equazione di Pell e unità quadratiche.

Matrici, frazioni continue e ricorrenze lineari. 

Richard Crandall, Carl Pomerance - Prime numbers : a computational perspective - OPERA 223 Andrew M. Rockett, Peter Szusz - Continued Fractions - 11A 1992.ROCKET Victor Shoup - A Computational Introduction to Number Theory and Algebra - http://www.shoup.net/ntb/

Modalità di esame:

Lo studente concorda con me un argomento da trattare, e scrive una relazione di 30/35 pagine, da consegnarsi in formato pdf per via elettronica. Espone poi il suo lavoro durante un seminario della durata di un'ora.

Vengono valutati, per assegnare il voto, il contenuto e la chiarezza del testo, e le capacità espositive e la comprensione della materia da parte del candidato.