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Sistemi Dinamici e Teoria del Caos

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Dynamical Systems and Chaos Theory

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Anno accademico 2016/2017

Codice dell'attività didattica
MFN0560
Docenti
Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Prof. Claudia Maria Chanu (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Contenuti dei corsi obbligatori di algebra lineare, analisi, geometria e fisica matematica della Laurea Triennale.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di ampliare le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti, rispetto a quanto svolto nei corsi di laurea di I livello, e di fornire un'introduzione ai sistemi caotici, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica, economia, dinamica delle popolazioni.
General aspects of the theory of continuous and discrete dynamical systems, expanding the topics already encountered at undergraduate level (ODE theory, Liapunov stability theory) and introducing bifurcation theory and chaotic systems, with emphasis on general strategies for applications in physics, biology (e.g. population dynamics) and social sciences.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Saper interpretare da un punto di vista modellistico le equazioni che definiscono un sistema dinamico (continuo o discreto). Saper analizzare qualitativamente il comportamento del sistema in dipendenza dei parametri. Paragonare il comportamento previsto dall’analisi qualitativa con i risultati numerici ottenuti al computer. Comprendere, in un certo numero di casi, quale classe di sistemi dinamici ammette un determinato comportamento. Comprendere il concetto di sistema deterministico caotico.
Understanding and interpreting, from both the mathematical and the modeling viewpoint, equations and maps describing a (continuous or discrete) dynamical system. Drawing phase portraits and performing qualitative analysis of the solution behavior in dependence of initial data and system parameters. Comparing theoretical qualitative analysis with numerical simulation. Understanding universality of qualitative behavior, structural stability and bifurcation types. Understanding the notion of deterministic chaotic system and its applications.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame prevede la discussione di un sistema dinamico assegnato, precedentemente studiato dal candidato con l'uso di Maple o di altro software appropriato; a questo segue la risposta a una domanda teorica estratta al momento da una lista nota agli studenti; l'esame si conclude con la presentazione in forma seminariale di un argomento (in genere, il contenuto di un articolo su rivista) assegnato in precedenza dal docente.
The exam consists in: (I) qualitative study of an assigned planar ODE with bifurcation parameter, using Maple; (ii) answering one question about general theory, randomly extracted from a list known to students; (iii) presentation and discussion of a research article (or of a book chapter not included in the lectures), assigned by the teacher.

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Programma

- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel corso della LT. Definizione di stabilità (Liapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.

- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica. Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate. Definizioni di dimensione frattale.

- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed eterocline. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.

- Biforcazioni di mappe continue. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti da parametri. Applicazioni a modelli reali.

- Aspetti geometrico-differenziali e topologico-differenziali: sistemi dinamici su varietà, campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Trasversalità e teoria dell'intersezione, grado topologico di una mappa, numero di Lefschetz di una mappa e indice di un campo vettoriale.

- Cenni ai modelli di evoluzione di grandezze distribuite nello spazio: evoluzione di popolazioni, equazione del traffico, modelli di reazione-diffusione.

- Review of elementary notions on discrete and continuous dynamical systems. Stability of critical points and Liapunov theorems.

- Bifurcations of iterated maps. Topological conjugacy of maps; Bernoulli shift and symbolic dynamics. Chaotic maps. Metric entropy and topological entropy of maps. Invariant sets of iterated maps. Fractals and fractal dimensions.

- Review of planar autonomous ODEs: classification of phase portraits. Qualitative analysis of nonlinear autonomous systems. Stable and unstable manifold of a saddle point. Homoclines and eteroclines. Poincaré-Bendixson theorem.

- Bifurcations of ODEs. Structural stability. Concrete examples from physics, biology, social sciences.

- Global behavior of ODEs: relation with differential geometry and topological geometry. Dynamical systems on differentiable manifolds, vector fields as sections of the tangent bundle. Introduction to transversality and intersection theory. Degree of a map, Lefschetz number and index of a vector field.

- Introduction to evolution equations for space-dependent quantities: ecology, traffic, reaction-diffusion models

Testi consigliati e bibliografia

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J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6. R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7. M. Hirsch - S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974, ISBN 0-12-349550-4. E. Beltrami, Mathematics for Dynamical Modeling, Academic Press 1987, ISBN 0-12-085555-0
J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6. R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7. M. Hirsch - S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974, ISBN 0-12-349550-4. E. Beltrami, Mathematics for Dynamical Modeling, Academic Press 1987, ISBN 0-12-085555-0



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 14/10/2016 11:51

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