- Oggetto:
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Sistemi Dinamici e Teoria del Caos
- Oggetto:
Dynamical Systems and Chaos Theory
- Oggetto:
Anno accademico 2019/2020
- Codice dell'attività didattica
- MFN0560
- Docenti
- Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Marc Fouchard (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/07 - fisica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Contenuti dei corsi obbligatori di algebra lineare, analisi, geometria e fisica matematica della Laurea Triennale.Fundamental notions of Linear Algebra, Multivariate Calculus, Geometry and Mathematical Physics, included in the compulsory courses of the Laurea Triennale curriculum.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di ampliare le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti, rispetto a quanto svolto nei corsi di laurea di I livello, e di fornire un'introduzione ai sistemi caotici, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica (meccanica celeste), economia, dinamica delle popolazioni.General aspects of the theory of continuous and discrete dynamical systems, expanding the topics already encountered at undergraduate level (ODE theory, Lyapunov stability theory) and introducing bifurcation theory and chaotic systems, with emphasis on general strategies for applications in physics (e.g. celestial mechanics), biology (e.g. population dynamics) and social sciences.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Saper interpretare da un punto di vista modellistico le equazioni che definiscono un sistema dinamico (continuo o discreto). Saper analizzare qualitativamente il comportamento del sistema in dipendenza dei parametri. Paragonare il comportamento previsto dall’analisi qualitativa con i risultati numerici ottenuti al computer. Comprendere, in un certo numero di casi, quale classe di sistemi dinamici ammette un determinato comportamento. Comprendere il concetto di sistema deterministico caotico.Understanding and interpreting, from both the mathematical and the modeling viewpoint, equations and maps describing a (continuous or discrete) dynamical system. Drawing phase portraits and performing qualitative analysis of the solution behavior in dependence of initial data and system parameters. Comparing theoretical qualitative analysis with numerical simulation. Understanding universality of qualitative behavior, structural stability and bifurcation types. Understanding the notion of deterministic chaotic system and its applications.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni frontali in aula; alcune sessioni di laboratorio in aula informatizzata. La durata totale del corso è di 48 ore, divise paritariamente fra i due docenti.Lectures, complemented by a few tutorial sessions in the computer lab. The classes amount to 48 hours, equally distributed between the two teachers.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede la discussione di un sistema dinamico assegnato, precedentemente studiato dal candidato con l'uso di Maple o di altro software appropriato; a questo segue la risposta a una domanda teorica estratta al momento da una lista preventivamente resa nota agli studenti; l'esame si conclude con la presentazione in forma seminariale di un argomento (in genere, il contenuto di un articolo su rivista) assegnato in precedenza dal docente. Il peso relativo delle tre parti nella valutazione finale è: 60% per la presentazione seminariale; 30% per la risposta alla domanda teorica; 10% per l'esercizio svolto con Maple.The exam consists in: (i) qualitative study of an assigned planar ODE with bifurcation parameter, using Maple; (ii) answering one question about general theory, randomly extracted from a list known to students; (iii) presentation and discussion of a research article (or of a book chapter not included in the lectures), assigned by the teacher.The relative weights of the three parts in the final score are: (i) 10%; (ii) 30%; (iii) 60%.
- Oggetto:
Programma
- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel corso della LT. Definizione di stabilità (Lyapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica. Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate.
- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed eterocline. Orbite periodiche e loro stabilità, mappa di Poincaré. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.
- Biforcazioni di mappe continue. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti da parametri. Applicazioni a modelli reali.
- Sistemi Hamiltoniani integrabili e loro perturbazioni: teorema KAM e teoremi di Nekhoroshev (introduzione), regime di Chirikov.
- Analisi in frequenze per lo studio di sistemi dinamici caotici. Indicatori di Lyapunov.
- Review of elementary notions on discrete and continuous dynamical systems. Stability of critical points and Lyapunov theorems.- Bifurcations of iterated maps. Topological conjugacy of maps; Bernoulli shift and symbolic dynamics. Chaotic maps. Metric entropy and topological entropy of maps. Invariant sets of iterated maps.
- Review of planar autonomous ODEs: classification of phase portraits. Qualitative analysis of nonlinear autonomous systems. Stable and unstable manifold of a saddle point. Homoclines and eteroclines. Periodic orbits and their stability; Poincaré map. Poincaré-Bendixson theorem.
- Bifurcations of ODEs. Structural stability. Concrete examples from physics, biology, social sciences.
- Hamiltonian integrable systems and perturbations: introduction to KAM and Nekhoroshev theorems, Chirikov regime.
- Frequency analysis for continuous chaotic systems. Lyapunov indicators.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6.
R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7.
C.M. Place, Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour, Routledge 2017, ISBN 978-0-412-39080-7
D. Benest, Hamiltonian and Fourier Analysis (Advances in Astronomy & Astrophysics), Gardners Books 2003, ISBN 978-1904868248
J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6.
R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7.
C.M. Place, Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour, Routledge 2017, ISBN 978-0-412-39080-7
D. Benest, Hamiltonian and Fourier Analysis (Advances in Astronomy & Astrophysics), Gardners Books 2003, ISBN 978-1904868248
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Orario lezioni
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