- Oggetto:
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Equazioni differenziali
- Oggetto:
Differential Equations
- Oggetto:
Anno accademico 2020/2021
- Codice dell'attività didattica
- MFN1421
- Docente
- Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
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Analisi matematica 1, 2 e 3. Geometria 1.
Mathematical Analysis 1, 2 and 3. Geometry 1. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Questo insegnamento, offerto nei corsi di laurea in Matematica di tutto il mondo, si propone di presentare un'introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Si tratta delle equazioni fondamentali che modellizzano fenomeni stazionari (equazione di Laplace e di Poisson), diffusivi (equazione del calore), di trasporto (equazione del trasporto) e ondulatori (equazione delle onde). Per tali problemi vengono discussi i principali risultati della teoria classica e alcuni metodi di risoluzione. Il corso della trattazione teorica è corredata dall'esposizione di diverse applicazioni. Pertanto l'isegnamento ben si colloca sia in un percorso teorico, sia in un percorso modellistico-applicativo. Qui potete trovare il link al video con la presentazione del corso.
L’insegnamento può essere opzionato come esame a scelta libera anche nella Laurea Magistrale in Matematica. Inoltre, nella Magistrale, gli studenti interessati potranno proseguire un percorso incentrato sulle equazioni differenziali sia approfondendone gli aspetti più propriamente modellistici (Equazioni Differenziali della Fisica Matematica) sia applicandovi gli strumenti propri dell’analisi funzionale per un approccio più avanzato (Analisi Superiore). Infine un tale percorso ideale può essere complementato con l’insegnamento magistrale Equazioni Differenziali Stocastiche.
This course, offered in mathematics programs around the world, is intended to present an introduction to the fundamental partial differential equations. These equations describe stationary phenomena (Laplace and Poisson equation), propagation phenomena by diffusion (heat equation), by transport (transport equation) and wave motions (wave equation). On these issues the main results of the classical theory as well as some methods of resolution are discussed. Some applications are also displayed. Therefore this course is well suited both in a curriculum of Pure Mathematics and in a curriculum of Applied Mathematics. Here is a link to the course presentation.
This course can also be chosen as a free optional exam in the Master’s Degree in Mathematics. In addition, in the Master Degree, interested students will be able to pursue a path focused on differential equations, both deepening the specific modelling aspects (Differential Equations of Mathematical Physics) and applying the tools of functional analysis for a more advanced approach (Advanced Analysis, Variational Methods). Finally such an ideal path can be complemented by the course Stochastic Differential Equations.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente dovrà conoscere i principali risultati e i metodi classici per lo studio delle equazioni di Laplace, Poisson, trasporto, calore e onde.The student should be able to know some fundamental results and classical methods for the study of Laplace, Poisson, transport, heat and wave equations.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni frontali, svolte sia alla lavagna, sia eventualmente con l'utilizzo di tablet.Frontal lectures, both at the blackboard, and possibly with electronic devices.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale sul programma del corso.Essendo tale insegnamento previsto anche per il Corso di Laurea triennale in Matematica, per sostenere l’esame è necessario preliminarmente presentare al docente un certificato con l’elenco degli esami sostenuti nel Corso di Laurea triennale.
Oral exam on the contents of the course.- Oggetto:
Programma
- Introduzione: modellizzazione di fenomeni deterministici e di problemi di natura geometrica mediante le equazioni alle derivate parziali.
- Funzioni armoniche: proprietà della media, principio del massimo, regolarità, teorema di Liouville.
- Equazione di Poisson: soluzione fondamentale del laplaciano, identità di Stokes, soluzione dell'equazione di Poisson in forma integrale.
- Problema dell'estensione armonica: soluzione in serie di Fourier nel caso 2-dim, formula di Poisson sulla palla n-dim.
- Problema di Dirichlet: unicità, esistenza, principio di Dirichlet.
- Equazione del trasporto: metodo delle caratteristiche, leggi di conservazione e onde d'urto, soluzioni deboli, modelli di traffico.
- Equazione del calore: soluzione fondamentale, proprietà delle soluzioni, principio del massimo, unicità, metodo dell'energia.
- Equazione delle onde: formula di d'Alambert, metodo di separazione delle variabili, metodo delle medie sferiche e formula di Kirchhoff, metodo della discesa di Hadamard e formula di Poisson.
- Introduction: PDE's as models for deterministic phenomena and for some geometric-kind problems.
- Harmonic functions: mean-value formulas, maximum principle, regularity, Liouville theorem.
- Poisson's equation: fundamental solution of the Laplacian, Stokes identity, integral representation of solutions.
- Harmonic extensions: solution on the disc (Fourier series), Poisson formula for the n-dimensional ball.
- Dirichlet problem: uniqueness, existence, Dirichlet principle.
- First-order equations: the method of characteristics, conservation laws and shock waves, weak solutions, models of traffic.
- Heat equation: fundamental solution, properties of solutions, maximum principle, uniqueness, energy methods.
- Wave equation: the d'Alambert formula, the method of separation of variables, solutions by spherical means and the Kirchhoff formula, the Hadamard's method of descent and the Poisson formula.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Dispense (a cura del docente).
- L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS (2010)
- F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
- S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)
- Lecture Notes (by the lecturer).
- L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS (2010)
- F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
- S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)
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Orario lezioni
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