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Istituzioni di Algebra

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ELEMENTS OF ALGEBRA

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Anno accademico 2016/2017

Codice dell'attività didattica
MFN0509
Docente
Prof. Yu Chen (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Algebra 1, algebra 2, geometria 1.

Algebra 1, algebra 2, geometria 1.
Mutuato da
Istituzioni di Algebra (MFN0507)
Laurea magistrale in Matematica
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L’allievo dovra’ essere in grado di padroneggiare le piu’ importanti tecniche algebriche per lo studio delle strutture algebriche. 

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",
http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php? ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981 

[1]): 

Conoscenza e comprensione: Il corso introduce gli studenti ai
risultati fondamentali riguardanti l'algebra moderna la cui comprensione richiede una critica profonda di
concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo anche
così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in
settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi
settori della matematica teorica (obiettivo 5) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre a distribuire delle
note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi,
per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento
personale degli argomenti (obiettivo 2). 

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel
corso (obiettivi 1,2,3,4,5,6). 

Autonomia di giudizio (making judgements): L'organizzazione del corso, mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede
agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole 

con un sforzo nel riconoscere in una situazione "nota" le proprietà essenziali su cui fondare una proficua generalizzazione (obiettivi 1,2,3). La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo (obiettivi 4,6,7). 

Abilità comunicative: I testi suggeriti per il corso sono in inglese, abituando gli studenti all’uso di lingue diverse dall'italiano (obiettivo 1). L’esame, che è principalmente una
discussione sui temi proposti, costringe lo studente ad esprimersi in modo matematicamente corretto (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2). 

The students should be capable to understand the fundamental modern algebraic theories and to use the basic algebraic methods in studying algebraic structures as well as other mathematical structures. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Teorie fondamentali dei campi, dei moduli e anelli, nonche' delle reppresentazioni dei gruppi. 

The fundamental theories of mordern algebraic structures such as the fields, the modules and the rings as well as the representations of groups 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame scritto e orale: La prova scritta è costituita da esercizi e un tema di approfondimento teorico; la prova è valutata in 30simi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso, nonchè al tema di approfondimento della prova scritta. Non ci sono domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.
Students have to take both written and oral examinations: The written exam consists of exercises and an argument developed from the program of the course, while an oral exam consists of theoretical questions related to the program of the course as well as a discussion on the argument developed in the written exam.

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Programma

 

Il concetto di rappresentazione lineare. Rappresentazioni irriducibili. Decomponibilità e riducibilità completa delle rappresentazioni. Gruppi riduttivi. Lemma di Schur. Il carattere di una rappresentazione. Proprietà di ortogonalità dei caratteri.

Rappresentazioni indotte. Reciprocità di Frobenius.

Anelli, moduli e algebre finitamente generati. Radicali nilpotenti. Il Teorema di Witt.

Algebre centrali semisemplici. Il Teorema di Wedderburn e le applicazioni sulle rappresentazioni dei gruppi.

Esempi.

 

The concept of linear representation. Irreducible and completely reducible representations. Reductive groups. Lemma di Schur. Characters of a representation. Orthogonality of characters. Induced representations. Frobenius reciprocity. Finitely generated rings, modules and algebras. Nilpotent radicals, Witt’s theorem. Wedderburn’s theorem on semisimple central algebras and its applications to representation theory. Examples.

 

Teoria di Galois; teoria dei moduli e anelli, elementi di teoria delle rappresentazioni dei gruppi. 

Galois theory; theories of modules and rings; basic theory of the representations of groups. 

Testi consigliati e bibliografia

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1. N.Jacobson, Basic Algebra, vol I & II, W.H.Freeman and Campany, 1985 2. S.Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2002
3. C.Processi, Elementi di Teoria di Galois, Decibel editrici
4. J.Alperin, R.Bell, Groups and Representaions, GTM 162, Springer- Verlag, 1995

5. W.Fulton, J.Harris, Representaion Theory, GTM 129, Springer-Verlag, 1991 

1. N.Jacobson, Basic Algebra, vol I & II, W.H.Freeman and Campany, 1985 2. S.Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2002
3. C.Processi, Elementi di Teoria di Galois, Decibel editrici
4. J.Alperin, R.Bell, Groups and Representaions, GTM 162, Springer- Verlag, 1995 

5. W.Fulton, J.Harris, Representaion Theory, GTM 129, Springer-Verlag, 1991 



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 06/10/2016 11:40

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