Laurea magistrale in Matematica

I corsi di base del primo biennio

L'obiettivo è di mettere lo studente in condizione di comprendere le tematiche e lo sviluppo della teoria algebrica dei numeri nel Novecento, fino alla letteratura più recente.

Si forniscono agli studenti fondamentali nozioni di algebra e di aritmetica avanzata:anelli di interi algebrici, numero delle classi, unità. Gli studenti dovranno aver acquisito la conoscenza degli argomenti del corso ed essere in grado di applicarla alla risoluzione di esercizi.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati fondamentali dell'aritmetica superiore la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica (obiettivo 5) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono proposti un certo numero di volumi anche allo scopo di spingere gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti trattati (obiettivo 2).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso (obiettivi 1,2,3,4,5,6).

Autonomia di giudizio (making judgements) L'organizzazione del corso, mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole con un sforzo nel riconoscere in una situazione "nota" le proprietà essenziali su cui fondare una proficua generalizzazione (obiettivi 1,2,3). La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo (obiettivi 4,6,7).

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono in inglese ed in francese, abituando gli studenti all’uso di lingue diverse dall'italiano (obiettivo 1). L’esame, che è principalmente una discussione sui problemi proposti, costringe lo studente ad esprimersi in modo matematicamente corretto (obiettivo 2)

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).

Ci si aspetta che lo studente sia in grado di risolvere problemi di teoria dei numeri algebrici classica.

Il corso fornisce la conoscenza dei metodi e dei risultati fondamentali della teoria algebrica dei numeri. Gli studenti acquisiscono le motivazioni ed il linguaggio per poter affrontare studi più avanzati in discipline matematiche di carattere aritmetico.

Esame orale basato sulla discussione di problemi pre-assegnati.

l corso tratta argomenti classici di base della teoria dei numeri algebrici:
Teoria della divisibilità in dominii.
Costruzione degli anelli di interi in campi di numeri e loro struttura
Geometria dei numeri (teorema di Minkowski)
Finitezza del gruppo delle classi di un campo di numeri.
Struttura delle unità di un campo di numeri.
Decomposizione di ideali primi in estensioni di campi di numeri
Decomposizione di ideali primi in estensioni galoisiane.

• Divisibilità nei domini d'integrità: PID e UFD. Fondamenti della teoria dei moduli. Teorema dei divisori elementari. Estensioni intere. Chiusura integrale e anelli di interi algebrici. Caso dei campi quadratici e ciclotomici. Domini di Dedekind. Il gruppo degli ideali frazionari. Finitezza del gruppo delle classi. Teorema delle unità di Dirichlet. Decomposizione di primi in anelli di interi algebrici. Formula del numero delle classi.

 

P. Samuel "Theorie Algebriques de Nombres", Hermann (Paris)

J. Milne, "Algebraic Number Theory" (note online)