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Algebra Commutativa (DM 270) - a.a. 2009/10

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Anno accademico 2009/2010

Codice dell'attività didattica
MFN0416
Docenti
Prof. Margherita Roggero (Titolare del corso)
Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso intende introdurre alla teoria degli anelli commutativi in una forma del tutto generale, ma con particolare attenzione ai casi di maggior interesse geometrico ed applicativo relativi alle k-algebre ottenute per quoziente o localizzazione da anelli di polinomi a coefficienti su un campo.
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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di:
noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un anello.
Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.

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Programma

Richiami su anelli commutativi. Elementi invertibili, zero-divisori, nilpotenti.
Ideali e anelli quoziente. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi, massimali e minimali. Nilradicale e radicale di Jacobson.

Anelli locali e localizzazione. Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria degli ideali in generale e nel caso noetheriano.

Teoria dei moduli su un anello. Prodotto tensoriale di moduli. Successioni esatte di moduli e proprietà di esattezza di Hom e del prodotto tensoriale.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going up e Going down.

Anelli artiniani e graduati. Elementi di teoria della dimensione.

Special elements in commutative rings: units, zero-divisors, nilpotents.

Ideals and quotients of a ring. Sum, product, intersection, radical  of ideals. Extended and contracted ideals. Prime, maximal and minimal ideals, nilradical and Jacobson radical.

Local rings and localization. Noetherian rings and Hilbert Basissatz. Primary decomposition, especially in noetherian rings.
Moduli. Exact sequences  of moduli over a ring; tensor product, Hom and their derived functors.

Integral elements over a ring. Noether normalizazion Lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. Normal rings. Going-up and Going-down.

Artinian and graded rings. Generalities about the dimension of a ring.

Testi consigliati e bibliografia

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M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra,
Addison-Wessley (1969)



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Note

ALGEBRA COMMUTATIVA, MFN0416 (DM 270) , 6 CFU:
6 CFU, MAT/02, TAF B (caratterizzante), Ambito formazionE teorica avanzata.

Modalità di verifica/esame:
Esame orale.

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Ultimo aggiornamento: 03/10/2014 13:19

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