Laurea magistrale in Matematica

Il corso si propone di educare al rigore logico deduttivo, sviluppando capacità critiche e dimostrative. In particolare si intende fornire agli studenti un quadro culturale complessivo degli aspetti matematici, metamatematici e filosofici connessi al concetto di numero naturale e reale e alla costruzione ipotetico-deduttiva dell’aritmetica e dell’analisi infinitesimale. I temi vengono affrontati da un punto di vista teorico avanzato, ma senza trascurarne l’inquadramento storico e le implicazioni in ambito didattico.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello superiore e più astratto (obiettivo 3), permette di rafforzare le conoscenze su concetti precedentemente acquisiti (obiettivo 1), migliorandone la padronanza e la capacità di utilizzo. Ricorrendo a vari libri e articoli, accanto a un testo principale, ci si propone di migliorare le capacità di lettura critica e di comprensione da parte degli studenti (obiettivo 2). Il corso offre conoscenze sistematiche e critiche sui fondamenti dell’aritmetica e dell’analisi, illustrate secondo diversi approcci (assiomatico, logicista, insiemistica, psicologista, intuizionista, fondamenti dell’analisi reale standard e non-standard, ….). Gli argomenti sono trattati da più punti di vista, attribuendo importanza sia all’aspetto storico-filosofico, sia alle ricadute sull’insegnamento, sia a quei temi utili a collegare le conoscenze acquisite nelle scuole secondarie di secondo grado con quelle universitarie.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste e le attività seminariali sono volte a migliorare la capacità degli studenti di risolvere problemi (obiettivi 1,2,3,5), e a coltivare la loro attitudine ad argomentare, con una pluralità di registri differenti (tecnico, storico, filosofico, didattico …), i contenuti matematici.

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura del corso richiede allo studente di testare le sue conoscenze e competenze, sia partecipando ad attività di problem solving, sia abituandosi a riconoscere errori o incompletezze in ipotesi e dimostrazioni ‘classiche’ (obiettivi 1,2). . L’assegnazione di esercizi, di attività da svolgere in aula e di un argomento su cui tenere un seminario orale, al termine del corso, favorisce l’abitudine al lavoro di gruppo, da affiancare a quello individuale (obiettivo 6). Lo studente sarà in particolare stimolato a documentarsi sulla letteratura matematica, sia tecnico-specialistica, sia di storico-filosofica, e a esercitare il suo spirito critico nello studio di testi e fonti. L’ampia bibliografia suggerita favorirà l’iniziativa di approfondimento individuale, che costituisce il primo stadio per il raggiungimento di un’autonomia nell’affrontare nuove problematiche di ricerca (obiettivo 7)

Fra i testi di riferimento suggeriti durante il corso compaiono sempre volumi, monografie e articoli in lingua inglese e francese. Lo studente familiarizza in tal modo con l’uso di tali idiomi e, partecipando alle conferenze e ai seminari organizzati a corollario del corso, ha modo di abituarsi al loro utilizzo nella comunicazione scientifica (obiettivo 1). L’esame orale richiede allo studente di esprimersi con proprietà di linguaggio e in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento

Il lavoro richiesto agli studenti contribuisce a sviluppare il loro spirito critico, a coltivare la loro capacità di sostenere ragionamenti matematici, di applicare quanto appreso per risolvere nuovi problemi e per produrre autonomamente dimostrazioni, e mira a sviluppare la loro capacità di articolare un discorso culturale coerente e di ampio respiro, orientandosi con una certa autonomia nella letteratura scientifica.

Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti dell’aritmetica e dell’analisi. Hanno acquisito abilità nell’impostare rigorosamente e nel risolvere problemi sia teorici che didattici, attinenti temi quali il principio di induzione, le definizioni ricorsive, la continuità, i numeri reali, ecc.

Sono inoltre in grado di contestualizzare in modo appropriato, da un punto di vista storico-filosofico, i principali temi logico-fondazionali e sono capaci di orientarsi e di leggere criticamente sia testi recenti del settore, sia opere classiche quali i saggi di Peano, Hilbert, Dedekind.

Il corso è dedicato ai fondamenti dell’aritmetica. Si affronteranno i seguenti temi:

Assiomi dell’aritmetica di Peano e sviluppo dell’aritmetica PA. Il concetto di numero naturale secondo Frege. Numeri naturali e cardinalità: le antinomie della teoria degli insiemi e il teorema di Cantor-Bernstein. Il concetto di numero naturale secondo Dedekind. Definizioni induttive e teorema di ricorsione. Il concetto di numero naturale secondo Husserl: numeri e scienze cognitive. Frazioni. Ragioni analitiche e algebriche di incompletezza di Q. Costruzione di Dedekind del campo dei numeri reali e teoremi di completezza di R. Gli assiomi di continuità. Numeri reali e misura. Costruzione di Méray-Cantor del campo dei numeri reali e teoremi di completezza metrica. Costruzione di Hilbert del campo dei numeri reali e problematiche fondazionali: coerenza, categoricità, indipendenza. Cenni a filtri e ultrafiltri. Costruzione del campo iperreali e cenni di analisi non standard. Campi non archimedei.

S. Invernizzi, C. Fiori, Numeri reali, Bologna, Pitagora, 2009.

G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri: storia e assiomatica della teoria degli insiemi, Torino, Bollati Boringhieri, 1994