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Fondamenti e Filosofia della Matematica

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FOUNDATIONS AN PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

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Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
MFN1653
Docente
Prof. Erika Luciano (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/04 - matematiche complementari
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
Analisi Matematica I, Introduzione al Pensiero Matematico
Mathematical Analysis ONE, Introduction to Mathematical Thinking
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, il corso si propone di educare al rigore logico deduttivo, sviluppando capacità critiche e dimostrative. In particolare si intende fornire agli studenti un quadro culturale complessivo degli aspetti matematici, metamatematici e filosofici connessi al concetto di numero naturale e reale e alla costruzione ipotetico-deduttiva dell'aritmetica e dell'analisi infinitesimale. I temi vengono affrontati da un punto di vista teorico avanzato, ma senza trascurarne l'inquadramento storico e le implicazioni in ambito didattico.

 

Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello superiore e più astratto (obiettivo 3), permette di rafforzare le conoscenze su concetti precedentemente acquisiti (obiettivo 1), migliorandone la padronanza e la capacità di utilizzo. Ricorrendo a vari libri e articoli, accanto a un testo principale, ci si propone di migliorare le capacità di lettura critica e di comprensione da parte degli studenti (obiettivo 2). Il corso offre conoscenze sistematiche e critiche sui fondamenti dell'aritmetica e dell'analisi, illustrate secondo diversi approcci (assiomatico, logicista, insiemistica, psicologista, intuizionista, fondamenti dell'analisi reale standard e non-standard, ….). Gli argomenti sono trattati da più punti di vista, attribuendo importanza sia all'aspetto storico-filosofico, sia alle ricadute sull'insegnamento, sia a quei temi utili a collegare le conoscenze acquisite nelle scuole secondarie di secondo grado con quelle universitarie.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste e le attività seminariali sono volte a migliorare la capacità degli studenti di risolvere problemi (obiettivi 1,2,3,5), e a coltivare la loro attitudine ad argomentare, con una pluralità di registri differenti (tecnico, storico, filosofico, didattico …), i contenuti matematici.

Autonomia di giudizio (making judgements) La natura del corso richiede allo studente di testare le sue conoscenze e competenze, sia partecipando ad attività di problem solving, sia abituandosi a riconoscere errori o incompletezze in ipotesi e dimostrazioni 'classiche' (obiettivi 1,2). . L'assegnazione di esercizi, di attività da svolgere in aula e di un argomento su cui tenere un seminario orale, al termine del corso, favorisce l'abitudine al lavoro di gruppo, da affiancare a quello individuale (obiettivo 6). Lo studente sarà in particolare stimolato a documentarsi sulla letteratura matematica, sia tecnico-specialistica, sia di storico-filosofica, e a esercitare il suo spirito critico nello studio di testi e fonti. L'ampia bibliografia suggerita favorirà l'iniziativa di approfondimento individuale, che costituisce il primo stadio per il raggiungimento di un'autonomia nell'affrontare nuove problematiche di ricerca (obiettivo 7)

Fra i testi di riferimento suggeriti durante il corso compaiono sempre volumi, monografie e articoli in lingua inglese e francese. Lo studente familiarizza in tal modo con l'uso di tali idiomi e, partecipando alle conferenze e ai seminari organizzati a corollario del corso, ha modo di abituarsi al loro utilizzo nella comunicazione scientifica (obiettivo 1). L'esame orale richiede allo studente di esprimersi con proprietà di linguaggio e in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento

Il lavoro richiesto agli studenti contribuisce a sviluppare il loro spirito critico, a coltivare la loro capacità di sostenere ragionamenti matematici, di applicare quanto appreso per risolvere nuovi problemi e per produrre autonomamente dimostrazioni, e mira a sviluppare la loro capacità di articolare un discorso culturale coerente e di ampio respiro, orientandosi con una certa autonomia nella letteratura scientifica.

According to the aims of the study course established by SUA-CdS, the course aim at developing deductive reasoning and critical skills. Each theme will be developed according to a mathematical, metamathematical, historical and philosophical perspective.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti dell'aritmetica e dell'analisi. Hanno acquisito abilità nell'impostare rigorosamente e nel risolvere problemi sia teorici che didattici, attinenti temi quali il principio di induzione, le definizioni ricorsive, la continuità, i numeri reali, ecc.

Sono inoltre in grado di contestualizzare in modo appropriato, da un punto di vista storico-filosofico, i principali temi logico-fondazionali e sono capaci di orientarsi e di leggere criticamente sia testi recenti del settore, sia opere classiche quali i saggi di Peano, Hilbert, Dedekind.

Students get a detailed knowledge of the foundations of arithmetic and analysis. They can treat with rigour and coherence theoretical and methodological problems concerning the PI, recursive definitions, continuity, real numbers, etc.

Furthermore they can appropriately contextualize, from an historical and philosophical perspective, the main questions regarding logic and foundations of mathematics, and they can read and interpret with critical skills both recent literature and classic texts like those by Peano, Hilbert, Dedekind.

 

 

 

 

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, in forma di lezioni svolte alla lavagna e con l'utilizzo di slides. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche ed esercitazioni. La frequenza è facoltativa ma consigliata.

 

The teaching consists of 48 hours of frontal lectures. Blackboard and slides will be used. Frontal teaching will include both theory lessons and exercices. Attendance is voluntary, although recommended.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Orale
Oral

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Programma

Il corso è dedicato ai fondamenti dell'aritmetica. Si affronteranno i seguenti temi:

Assiomi dell'aritmetica di Peano e sviluppo dell'aritmetica PA. Il concetto di numero naturale secondo Frege. Numeri naturali e cardinalità: le antinomie della teoria degli insiemi e il teorema di Cantor-Bernstein. Il concetto di numero naturale secondo Dedekind. Definizioni induttive e teorema di ricorsione. Il concetto di numero naturale secondo Husserl: numeri e scienze cognitive. Frazioni. Ragioni analitiche e algebriche di incompletezza di Q. Costruzione di Dedekind del campo dei numeri reali e teoremi di completezza di R. Gli assiomi di continuità. Numeri reali e misura. Costruzione di Méray-Cantor del campo dei numeri reali e teoremi di completezza metrica. Costruzione di Hilbert del campo dei numeri reali e problematiche fondazionali: coerenza, categoricità, indipendenza. Cenni a filtri e ultrafiltri. Costruzione del campo iperreali e cenni di analisi non standard. Campi non archimedei.

 

 The course is dedicated to the foundations of arithmetic:

Peano's Axioms of Arithmetic. Fractions. The Theodorus of Cirene's problem. The Theories of Dedekind, Méray-Cantor and Hilbert of Real numbers. The hyperreal numbers. Historical, methodological and philosophical aspects of the concept of number.

Testi consigliati e bibliografia

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Ewald W.B., From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics, Oxford, Clarendon press, 1996

S. Invernizzi, C. Fiori, Numeri reali, Bologna, Pitagora, 2009.

Logic and foundations of mathematics : dedicated to Prof. A. Heyting on his 70. birthday, (edited by) D. Van Dalen, J. G. Dijkman, S. C. Kleene, A. S. Troelstra, Groningen, Wolters-Noordhoff, 1968

Logic and foundations of mathematics : dedicated to Prof. A. Heyting on his 70. birthday, (edited by) D. Van Dalen, J. G. Dijkman, S. C. Kleene, A. S. Troelstra, Groningen, Wolters-Noordhoff, 1968

S. Invernizzi, C. Fiori, Numeri reali, Bologna, Pitagora, 2009.

Ewald W.B., From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics, Oxford, Clarendon press, 1996



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 13/06/2018 11:02

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