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Istituzioni di Geometria (DM 270) - 9 cfu -a.a. 2014/15

Oggetto:

Advanced Geometry

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Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN0517
Docenti
Prof. Marina Marchisio (Titolare del corso)
Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Conoscenze di base su: geometria proiettiva, curve e superficie differenziali, funzioni reali di piu' variabili.
Basic notions on projective geometry, differential curves and surfaces, real functions in several variables.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L’allievo dovra’ essere in grado di padroneggiare le piu’ importanti tecniche geometriche per lo studio delle varieta’ algebriche e differenziali e di conoscere i principali esempi di tali enti geometrici.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di
Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di
Dublino",
http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981
[1]):

Conoscenza e comprensione Il corso introduce gli studenti ad alcuni
risultati di base riguardanti la geometria algebrica e la geometria
differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di
concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più
generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo anche
così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del
pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati
fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in
settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi
settori della matematica teorica (obiettivo 5) che sono correntemente
oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre a distribuire delle
note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi,
per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento
personale degli argomenti (obiettivo 2).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione I problemi che
vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e
la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel
corso (obiettivi 1,2,3,4,5,6).

Autonomia di giudizio (making judgements) L'organizzazione del corso,
mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di
risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede
agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole
con un sforzo nel riconoscere in una situazione "nota" le proprietà
essenziali su cui fondare una proficua generalizzazione (obiettivi
1,2,3). La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la
risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono
l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo (obiettivi 4,6,7).

Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono in inglese, abituando gli studenti all’uso di lingue diverse dall'italiano (obiettivo 1). L’esame, che è principalmente una
discussione sui temi proposti, costringe lo studente ad esprimersi in
modo matematicamente corretto (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è
indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di
lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità
di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non
direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).

 

The student will learn the most important geometric techniques for the study of the differential manifolds and algebraic varieties and he will know the main examples in these topics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Teoria generale delle varieta’ differenziali e algebriche.
General teory of differential manifolds and algebraic varieties.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame scritto e orale.
Written and oral exam.
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Programma

 

Basi di Groebner.

 Curve algebriche piane.

 Elementi di algebra commutativa.

Varietà algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali.

Varietà differenziabili. Partizione dell'unità. Vettori tangenti e spazio tangente. Differenziale tra applicazioni differenziabili tra varietà. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati vettoriali. Sottovarietà e teorema della funzione inversa. Teoremi della funzione implicita. Campi vettoriali e bracket di Lie. Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno.

Groebner basis.

Algebraic plane curves.

Elements of commutative algebra.

Affine and projective algebraic varieties. Morphisms and rational maps.

Differential manifolds. Partition of unity. Tangent vectors and tangent space. Differential of a smooth map between manifolds. Tangent and cotangent bundle. Vector bundles. Submanifolds and inverse function theorem. Implicit function theorems. Vector fields and bracket. Tensorial algebra and differential forms. Exterior differential.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

D. A. Cox, J. Little, D. Oshea, An introduction to Computattional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989.

T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.

J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.

M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.

F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.

D. A. Cox, J. Little, D. Oshea, An introduction to Computattional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989.



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Orario lezioni

GiorniOreAula
Lezioni: dal 29/09/2014 al 16/01/2015

Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html

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Note

ISTITUZIONI DI GEOMETRIA, MFN0517 (DM 270), 9 CFU: 9 CFU, MAT/03, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata. Modalità di verifica/esame: Scritto e orale.

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Ultimo aggiornamento: 06/07/2015 17:20

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