- Oggetto:
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Geometria Algebrica (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
ALGEBRAIC GEOMETRY
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN0498
- Docente
- Prof. Alberto Collino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria della risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali. La geometria algebrica studia queste soluzioni da un punto di vista globale, mediante la teoria delle varietà algebriche.Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà di alcune loro importanti proprietà.
Queste conoscenze sono propedeutiche a diversi argomenti, un primo corso di geometria algebrica e' un requisito basilare per gli studi nei campi della geometria, teoria algebrica dei numeri o algebra a livello di laurea specialistica o dottorato.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati fondamentali della geometria algebrica la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica (obiettivo 5) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi, per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti (obiettivo 2).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso (obiettivi 1,2,3,4,5,6).
Autonomia di giudizio (making judgements) L'organizzazione del corso, mirata soprattutto ad ottenere una motivata vasta generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto richiede agli studenti di affinare le capacità logico-deduttivo coniugandole con un sforzo nel riconoscere in una situazione "nota" le proprietà essenziali su cui fondare una proficua generalizzazione (obiettivi 1,2,3). La letteratura di supporto, anche in lingue diverse, e la risoluzione personale o in gruppo di problemi favoriscono l'approfondimento individuale e il lavoro autonomo (obiettivi 4,6,7). Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono in inglese ed in francese, abituando gli studenti all’uso di lingue diverse dall'italiano (obiettivo 1). L’esame, che è principalmente una discussione sui temi proposti, costringe lo studente ad esprimersi in modo matematicamente corretto (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).
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Risultati dell'apprendimento attesi
Gli studenti che completeranno con successo questo corso
- possederanno una conoscenza degli elementi basilari della geometria affine e proiettiva,
- avranno familiarita' con esempi espliciti che includeranno curve piane, superficie quadriche e cubiche, la grassmanniana delle rette in P^3, la varietà di Veronese e la varietà di Segre.
- avranno arricchito la loro conoscenza di anelli commutativi finitamente generati e del loro campo delle frazioni.
- avranno imparato a formulare e provare risultati di base sulle varieta' algebriche espressi con precisione in un linguaggio algebrico astratto preciso.- Maneggeranno i concetti di morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare le proprieta’ della dimensione, per esempio con la costruzione di opportune corrispondenze di ‘incidenza’ saprà' provare che le superficie di grado 3 di necessità contengono rette.
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Programma
Varietà algebriche affini. Insiemi algebrici affini. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Varietà affini. Funzioni sulle varietà: morfismi e isomorfismi; campo delle funzioni razionali e applicazioni razionali.
Varietà algebriche proiettive. Morfismi, funzioni razionali ed equivalenza birazionale.
Proprietà delle varietà. Spazio tangente e singolarità.
Dimensione di una varietà: equivalenza tra diverse definizioni.
Grado di una varietà proiettiva: cenni al Teorema di Bezout. Esempi.
Curve razionali normali. Immersione di Veronese. Immersione di Segre e prodotto di varieta’ proiettive.
Varietà delle coniche di P^2. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di P^3.
Fibrati vettoriali. Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e mappe da varietà negli spazi proiettivi. Cenni sulla coomologia dei fasci. Il teorema di Riemann Roch, cenni.
Algebraic geometry studies geometric objects defined algebraically.
It is a classical subject with a modern face that studies geometric
spaces defined by polynomial equations in several variables.
Besides providing crucial techniques and examples to many other
areas of geometry and topology, recent decades have seen remarkable
applications to representation theory, physics and to the construction of algebraic codes.
The goal of the course is to give a basic flavour of the subject as
motivation for further study through the introduction of minimal
background material supplemented by a vast collection of examples.
This course will introduce the basic objects
in algebraic geometry: affine and projective varieties, and the maps
between them. The focus will be on explicit concrete examples.
We plan to cover :
- basics of commutative algebra,
- Hilbert Basis Theorem and the Nullstellensatz,
- affine and projective varieties,
- morphisms and rational maps between varieties,
- conics, plane curves, quadric surfaces,
- blow ups, birational equivalence,
- Segre and Veronese embeddings,
- cubic surfaces.and according to time
Affine algebraic varieties, Hilbert’s Nullstellensatz. The Zariski topology, morphisms of affine varieties. Irreducible varieties.
Projective space and projective varieties. Morphisms of projective varieties. Birational equivalence.
Tangent space and smooth points. The singular locus is a closed subvariety. Algebraic
re-formulation of the tangent space. Differential map between tangent spaces.
Dimension of a variety. Degree of a projective variety. Bezout’s theorem. Examples and applications.
Rational normal curves. Veronese morphisms: definition, examples. Segre
maps and products of varieties. Categorical products: the image of the Segre map gives the categorical product.
The variety of conics in the plane. Linear projections, blow ups. A brief discussion of rational and unirational varieties. Grassmann varieties, Plucker embeddings. Some examples of enumerative geometry, lines on cubic surfaces.
A brief discussion of fibre bundles. Line bundles. Some rudiments of cohomology of sheaves. Some remarks about the Riemann Roch theorem.
Testi consigliati e bibliografia
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K Hulek, Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, 20. American Mathematical Society, 2003. Testi di consultazione ulteriore I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer Verlag 1974 J.Harris – Algebraic Geometry – GTM- Springer R.Hartshorne – – Algebraic Geometry – GTM – Springer M.Reid, Undergraduate algebraic geometry, LMS Student Texts 12, Cambridge (1988).
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Note
GEOMETRIA algebrica, MFN0498 (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/03, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica avanzata.
Modalità di verifica/esame: Esame orale.
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