- Oggetto:
Geometria Algebrica (DM 509) - a.a. 2009/10
- Oggetto:
Anno accademico 2009/2010
- Codice dell'attività didattica
- MFN0057 / MFN0058
- Docente
- Prof. Alberto Collino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Specialistica in Matematica (D.M. 509)
- Anno
- 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 509 - Vedi il campo note per i dettagli
- Crediti/Valenza
- 7
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria della risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali. La geometria algebrica studia queste soluzioni da un punto di vista globale, mediante la teoria delle varietà algebriche.. Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà di alcune loro importanti proprietà.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare le proprieta della dimensione, per esempio con la costruzione di opportune corrispondenze di incidenza saprà' provare che le superficie di grado 3 di necessità contengono rette.- Oggetto:
Programma
Varietà algebriche affini. Insiemi algebrici affini. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Varietà affini. Funzioni sulle varietà: morfismi e isomorfismi; campo delle funzioni razionali e applicazioni razionali.
Varietà algebriche proiettive. Morfismi, funzioni razionali ed equivalenza birazionale.
Proprietà delle varietà. Spazio tangente e singolarità.
Dimensione di una varietà: equivalenza tra diverse definizioni.
Grado di una varietà proiettiva: cenni al Teorema di Bezout. Esempi.
Curve razionali normali. Immersione di Veronese. Immersione di Segre e prodotto di varieta’ proiettive.
Varietà delle coniche di P^2. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di P^3.
Fibrati vettoriali. Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e mappe da varietà negli spazi proiettivi. Cenni sulla coomologia dei fasci. Il teorema di Riemann Roch, cenni.
Affine algebraic varieties, Hilbert’s Nullstellensatz. The Zariski topology, morphisms of affine varieties. Irreducible varieties.
Projective space and projective varieties. Morphisms of projective varieties. Birational equivalence.
Tangent space and smooth points. The singular locus is a closed subvariety. Algebraic
re-formulation of the tangent space. Differential map between tangent spaces.
Dimension of a variety. Degree of a projective variety. Bezout’s theorem. Examples and applications.
Rational normal curves. Veronese morphisms: definition, examples. Segre
maps and products of varieties. Categorical products: the image of the Segre map gives the categorical product.
The variety of conics in the plane. Linear projections, blow ups. A brief discussion of rational and unirational varieties. Grassmann varieties, Plucker embeddings. Some examples of enumerative geometry, lines on cubic surfaces.
A brief discussion of fibre bundles. Line bundles. Some rudiments of cohomology of sheaves. Some remarks about the Riemann Roch theorem.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- K Hulek, Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, 20. American Mathematical Society, 2003.
Testi di consultazione ulteriore
I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer Verlag 1974
J.Harris Algebraic Geometry GTM- Springer
R.Hartshorne Algebraic Geometry GTM Springer
M.Reid, Undergraduate algebraic geometry, LMS Student Texts 12, Cambridge (1988). - Oggetto:
Note
GEOMETRIA ALGEBRICA, MFN0057 (DM 509) , 7 CFU:
7 CFU, MAT/03, TAF A (base), Ambito formazione matematica.GEOMETRIA ALGEBRICA, MFN0058 (DM 509) , 7 CFU:
7 CFU, MAT/03, TAF G (CFU di sede), Ambito aggregato per crediti di sede.Modalità di verifica/esame:
Esame orale.- Oggetto:
