- Oggetto:
- Oggetto:
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 270) - a.a. 2014/15
- Oggetto:
Advanced Probability
- Oggetto:
Anno accademico 2014/2015
- Codice dell'attività didattica
- MFN0513
- Docenti
- Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso)
Prof. Roberta Sirovich (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Un corso di base di Calcolo delle Probabilità e buone basi di Analisi Matematica
- Propedeutico a
-
Un corso di Introduzione al Calcolo delle Probabilità di livello triennale. Una discreta capacità nel risolvere problemi di calcolo delle probabilità di livello di base.A first course in Probability at undergraduate level. Some abilities in solving basic probability problems.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dei concetti fondanti del Calcolo delle Probabilità. Vengono riconsiderati argomenti già affrontati nella laurea triennale facendo ora uso dei mezzi della teoria della misura. Lo studente prende coscienza dell’esistenza di problemi teorici o applicativi che richiedono l’utilizzo di questi strumenti. Lo studente arriva a controllare con competenze i metodi tipici della teoria avanzata del calcolo delle probabilità.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione Il corso mira a rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). L'utilizzo di vari libri accanto a un testo principale si propone di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso introduce la teoria delle martingale costituisce un primo tema specialistico di grande interesse per le applicazioni soprattutto finanziarie (obiettivo 5) e sono uno strumento indispensabile per la ricerca in ambito stocastico (obiettivo 9). Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le esercitazioni previste dal corso, mirano a migliorare la capacità di soluzione di problemi (in genere teorici), di migliorare la padronanza dei concetti e di favorire capacità di problem solving (obiettivi 1,2,3,5). Talvolta potranno suggerire allo studente verifiche computazionali di risultati teorici, anche al fine di illustrare alcuni teoremi (obiettivo 9)
Autonomia di giudizio (making judgements) La natura istituzionale del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). L’assegnazione regolare di esercizi favorirà l’abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L’ampia letteratura suggerita favorirà l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7)
Abilità comunicative I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua Inglese, abituando lo studente all’uso dell’Inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L’esame, sia scritto che orale, costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2)
Capacità di apprendimento Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile, utile per studi di terzo livello o per inserirsi in diversi ambiti lavorativi (obiettivi 1 e 2)The course aims to improve the knowledge of the foundations of Probability Theory. Topics already studied in the undergraduate program are re-considered making use of Measure Theory tools. The student becomes conscious of the existence of theoretical and applied problems that request the use these tools to be analyzed. The student arrives to use with competence methods typical of advanced probability theory.
Dublin Descriptors ( see http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981 )
Conoscenza e comprensione Il corso, rivisitando argomenti di base a un livello più astratto, permette di
Knowledge and understanding: the revisiting topics already studied allows an improvement of basic knowledge (goal 1) while the major abstraction is attained (goal 3). Systematic use of different books beside to a principal textbook improves reading abilities (goal 2). Theory of martingales is a first advanced topic considered by the student. It is a subject of great importance for finance applications and is a fundamental tool in modern research in a stochastic framework(goal 9). Exercises are regularly assigned and corrected during classes to improve problem solving abilities with special regard to theoretical problems.
Applying knowledge and understanding: The regular request to solve exercises is motivated by the wish to improve the student ability in problem solving making the student mastery of the new concepts (goals 1,2,3,5). Some exercises imply computational checks of theoretical results to illustrate the meaning of some theorems (goal 9)Making judgements: This is a foundational course and its development request a continuos improvements of student logic abilities. The student becomes familiar to a critical approach to use of hypotheses and to their necessity to attain the thesis. The student recognized mistakes and lackness in the hypotheses formulation (goals 1,2). The regular request of exercises soltution encourage group work beside individual study (goal 6). The suggestion to use different textbooks encourages autonomous attempts as a first step toward an autonomous research suitable for new problems (goal 7)
Communication All suggested textbooks are in English to make the student familial with the scientific use of this language (goal 1). Written and oral tests force the student to a double communication effort (written and oral) to communicate mathematic (goal 2)
Learning skills . Contents and methodologies considered in this course aim to force the student to a flexible approach to problems. This type of mentality will be pretious to the student both for Ph. D. studies and for future job necessities (goals 1 and 2)- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell’impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali vettori Gaussiani, le attese condizionali, le proprietà di convergenza, le funzioni caratteristiche e le martingale.
Sono in grado di dimostrare autonmamente risultati che discendano dalla teoria studiata e riescono ad orientarsi su testi matematici del settore diversi dal libro di testo.The student attains a detailed knowledge of the foundations of the theory of probability and related topics in measure theory. They attain good ability in probabilistic problem solving being able to deal both with theoretical and applied problems related with Gaussian random variables, conditional expectation, convergence features, characteristic functions and martingales.
They become able to proof new results related with the studied theory, furthermore they are able to learn using different textbooks.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni ed esercitazioni.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame finale con prova scritta seguita da prova orale in un giorno distinto da quello dello scritto . La prova scritta richiede la soluzione di due esercizi e il superarla è requisito indispensabile per essere ammessi alla prova orale. La prova orale comprende una discussione sulla prova scritta e la risposta a due domande estratte a caso dallo studente. Durante la prova scritta si po' consultare il libro di testo e tenere un formularioFinal exam includes written and an oral tests. The two tests are scheduled on different dates. Written test request the solution of two exercises and is mandatory to pass this test to be admitted to the oral test.The oral examination includes a discussion on the written test as well as the answer to two question, taken at random by the student. Students can use textbook during the written test- Oggetto:
Attività di supporto
Il corso prevede lezioni ed esercitazioni. Durante il corso viene suggerita la soluzione di esercizi assegnatiThe course include exercises classes and extra exercises are suggested as homework- Oggetto:
Programma
Richiami di calcolo delle probabilità; costruzione di misure di probabilità su R e variabili aleatorie; integrazione rispetto a misure di probabilità; variabili aleatorie indipendenti; distribuzioni su R^n; somme di variabili aleatorie; leggi 0-1; variabili aleatorie Gaussiane multivariate, Convergenza di variabili aleatorie; Convergenza debole e funzioni caratteristiche; leggi dei grandi numeri e teorema del limite Centrale (richiami); attese condizionate; martingale a tempo discreto, optional stopping e scomposizione di Doob;diseguaglianze di martingala; proprietà di convergenza per Martingale a tempo discreto; cenni relativi a martingale a tempo continuo.Overview of elementary probability. Construction of probability measures on R and random variables. Integrals over probability measures. Independent random variables. Distributions on Rn. Sums of random variables. 0-1 Laws. Multivariate Gaussian random variables. Convergence of sequences of random variables. Weak convergence and characteristic functions. Laws of large numbers and central limit theorem. Conditional expectations. Discrete time martingales, optional stopping , Doob decomposition and martingale inequalities. Convergence properties of discrete time martingales. Introduction to continuous time martingales.Richiami di calcolo delle probabilità; costruzione di misure di probabilità su R e variabili aleatorie; integrazione rispetto a misure di probabilità; variabili aleatorie indipendenti; distribuzioni su R^n; somme di variabili aleatorie; leggi 0-1; variabili aleatorie Gaussiane multivariate, Convergenza di variabili aleatorie; Convergenza debole e funzioni caratteristiche; leggi dei grandi numeri e teorema del limite Centrale (richiami); attese condizionate; martingale a tempo discreto, optional stopping e scomposizione di Doob;diseguaglianze di martingala; proprietà di convergenza per Martingale a tempo discreto; cenni relativi a martingale a tempo continuo.Overview of elementary probability. Construction of probability measures on R and random variables. Integrals over probability measures. Independent random variables. Distributions on Rn. Sums of random variables. 0-1 Laws. Multivariate Gaussian random variables. Convergence of sequences of random variables. Weak convergence and characteristic functions. Laws of large numbers and central limit theorem. Conditional expectations. Discrete time martingales, optional stopping , Doob decomposition and martingale inequalities. Convergence properties of discrete time martingales. Introduction to continuous time martingales.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro di testo:
Cinlar Probability and Stochastics Springer
Ulteriori letture suggerite:
-Williams, Probability with Martingales;
-Shiryaev, Probability;
-Billingsey Probability and Measure; Feller Introduction to Probability Theory and Applications.
-Varadhan Probability Theory. AMS
-Jacod - Protter, Essentials in ProbabilityPer l'argomento Variabili Aleatorie Gaussiane e Sistemi Gaussiani si vedano anche i files disponibili nel materiale didattico del corso
Textbook:
Cinlar Probability and Stochastics Springer
Further suggested books:
-Williams, Probability with Martingales;
-Shiryaev, Probability;
-Billingsey Probability and Measure; Feller Introduction to Probability Theory and Applications.
-Varadhan Probability Theory. AMS
-Jacod - Protter, Essentials in ProbabilitySome materials on Gaussian random variables can be downloaded from the webpage of the course.
- Oggetto:
Orario lezioni
Giorni Ore Aula Lezioni: dal 29/09/2014 al 16/01/2015 Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html
- Oggetto:
Note
ISTITUZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA', MFN0513 (DM 270), 9 CFU: 9 CFU, MAT/06, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione modellistico-applicativa. Modalità di verifica/esame: Esame scritto e orale congiunto.
- Oggetto:
