Processi Stocastici (DM 270) a.a. 2013/14

Oggetto:

Processi Stocastici (DM 270) a.a. 2013/14

Oggetto:

Stochastic Processes (DM 270) a.a. 2013/14

Oggetto:

Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica

MFN0559

Docenti

Prof. Cristina Zucca
Prof. Laura Sacerdote

Corso di studi

Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)

Anno

1° anno

Periodo didattico

Secondo semestre

Tipologia

D.M. 270 TAF B - Caratterizzante

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/06 - probabilita' e statistica matematica

Modalità di erogazione

Tradizionale

Lingua di insegnamento

Italiano

Modalità di frequenza

Facoltativa

Tipologia d'esame

Orale

Prerequisiti

Preferibilmente:
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità.
Istituzioni di Analisi.
Contenuti di un corso di base di calcolo delle probabilità.

Oggetto:

Obiettivi formativi

Sviluppare le abilità necessarie per utilizzare autonomamente i processi di diffusione per rappresentare diverse realtà di interesse applicativo, utilizzando poi le diverse tecniche di studio per effettuare le analisi di tali modelli. Ulteriori obiettivi formativi di questo corso sono lo sviluppo di capacità di studio autonomo di argomenti , anche di tipo avanzato, collegati ai contenuti del corso e lo sviluppo di capacità di collaborazione e studio in gruppo

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):

Conoscenza e capacità di comprensione

Il corso utilizza concetti e strumenti introdotti nel corso di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità oltre agli strumenti della matematica di base appresi nella laurea triennale (obiettivo 1). Il corso di Calcolo delle Probabilità 2 della laurea triennale potrebbe essere utile per facilitare alcune esemplificazioni ma non è da ritenere propedeutico ma la presentazione dei problemi e delle teorie avviene a un livello più astratto (obiettivo 3).

Per migliorare le abilità di lettura e di approfondimento (obiettivo 2) il corso prevede l’utilizzo di diversi libri e richiede la lettura di alcuni articoli scientifici per l’approfondimento. Alcuni articoli avranno carattere storico per consentire di comprendere le motivazioni scientifiche che hanno determinato specifici passi della teoria stocastica (obiettivo 8). Lo studente si impadronisce di strumenti e concetti utili per la modellizzazione di realtà suggerite da altre scienze (obiettivi 4 e 5). Inoltre, insieme al corso di EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche fornisce competenze indispensabili per avvicinarsi alla ricerca in contesti stocastici (obiettivo 9). Alcune esercitazioni, volte alla simulazione di traiettorie di processi stocastici, verranno svolte con il software di calcolo simbolico Mathematica (obiettivo 6).

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Gli studenti sono continuamente stimolati a riconoscere nuove problematiche, suggerendo nuove soluzioni e l’introduzione di nuove classi di modelli. Simulataneamente gli studenti vengono motivati a individuare nuovi problemi, sia teorici che applicativi, riconoscendone gli aspetti essenziali (obiettivi 1 e 2). Durante le lezioni gli studenti partecipano con domande e interventi, abituandosi a sostenere i loro ragionamenti a sintetizzare problemi complessi e a formulare modelli stocastici (obiettivi 3, 5, 6, 8). La semplificazione, necessaria per la formulazione di modelli studiabili matematicamente, permette di imparare ad estrarre informazioni anche qualitative dal modello (obiettivi 8,9,11). Esercitazioni in aula o autonome richiedono l’utilizzo e il miglioramento di capacità computazionali e informatiche (obiettivo 10) mentre la lettura di articoli scientifici, talvolta a carattere storico permette sviluppa ulteriori capacità (obiettivo 13).

Autonomia di giudizio

Il lavoro e le esercitazioni, spesso molto interattive abituano a sostenere ragionamenti con argomentazioni logiche, identificando gli aspetti fondamentali del modello, riconoscendo gli strumenti matematici utili per lo studio o sviluppando opportune metodologie basate su tecniche apprese nel corso (obiettivi 1,2, 5). Parte del lavoro può venir svolto in gruppo e lo studio di gruppo viene spesso sollecitato per approfondimenti (obiettivo 6).

Abilità comunicative

Il corso focalizza soprattutto sulla comunicazione orale, in italiano, limitando la parte scritta alla soluzione di alcuni esercizi (obiettivi 1, 2). La maggioranza dei testi e degli articoli, cosi come alcuni seminari cui gli studenti vengono invitati, sono in lingua Inglese (obiettivo 3)

Capacità di apprendimento

Buone competenze nella teoria dei processi stocastici possono permettere ulteriori studi di terzo livello in ambito matematico, sia in contesti interdisciplinari che coinvolgano economia, biologia, fisica o altre scienze (obiettivo 2). La natura dei problemi affrontati nel corso favorisce lo sviluppo di una mentalità flessibile, aperta all’utilizzo di diverse tecniche di studio, analitico, numerico o simulativo (obiettivo 1).

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo continuo e per sviluppare modelli di interesse per le applicazioni.

Oggetto:

Moto Browniano: caratterizzazione Markoviana, esistenza del moto Browniano; distribuzione del massimo e del tempo di primo passaggio; legge dell’arcoseno, legge del logaritmo iterato; moto Browniano riflesso; relazione del moto Browniano con l’equazione del calore e relativa soluzione; moto Browniano multidimensionale

Processi stazionari. Distanza in media quadratica, processi autoregressivi; teoria ergodica e processi stazionari; processi Gaussiani

Processi di diffusione: equazioni differenziali associate a funzionali del processo; equazioni backward e forward; misure stazionarie; classificazione delle barriere del processo; costruzione di comportamenti sulle barriere; processi di diffusione condizionati; rappresentazione spettrale della densità di transizione; processi di diffusione e equazioni differenziali stocastiche; processi di diffusione con salti; problemi di primo passaggio per processi di diffusione.

Brownian Motion: Markov property, existence of the Brownian motion; maximum and first passage time distribution; arcosine law; iterated logarithm law; Reflected Brownian motion; Heat equation and Brownian motion; multidimensional Brownian motion.

Stationary Processes: mean square distance; autoregressive processes; ergodic theory and stationary processes; Gaussian processes

Diffusion Processes: differential equations associated with some functionals of the process; backward and forward equations; stationary measures; boundary classification for regular diffusion processes; conditioned diffusion processes; spectral representation of the transition density for a diffusion; diffusion processes and stochastic differential equations; jump-diffusion processes; first passage time problems for diffusion processes

Descrizione

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

Karlin, Taylor A first Course in Stochastic Processes Academic Press Karlin, Taylor A second Course in Stochastic Processes Academic Press Orsingher Elementi per il corso di Calcolo delle Probabilità II CISU

Oggetto:

Note

PROCESSI STOCASTICI, MFN0559 (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/06, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione modellistico-applicativa.

Modalità di verifica/esame: Esame: orale sul programma e un seminario preparato con lavoro di gruppo su argomenti di approfondimento (che comprenderanno Catene di Markov e Processo di Poisson per quanti non avessero inserito Calcolo delle Probabilità 2 nella LT).

Oggetto: