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Analisi Armonica e di Fourier

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Harmonic and Fourier Analysis

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Anno accademico 2016/2017

Codice dell'attività didattica
MFN0419
Docenti
Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso)
Prof. Alessandro Oliaro (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
Derivazione ed integrazione, topologia elementare, cenni su spazi di funzioni ed operatori.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Lo scopo del corso e quello di mostrare come due strumenti fondamentali dell'Analisi Matematica e delle sue applicazioni, quali serie e trasformata di Fourier, trovino una elegante unificazione concettuale nell'ambito dell'Analisi Armonica astratta. Le competenze da acquisire riguardano l’apprendimento e l’utilizzo di specifiche tecniche di Analisi Armonica.

Il corso introduce gli strumenti fondamentali della moderna Analisi Armonica e di Fourier da un punto di vista generale. In particolare il corso si sviluppa su tre livelli: analisi di Fourier in R^d, analisi armonica in L^1(G) con G gruppo topologico LCA ed infine introduzione alla teoria spettrale delle algebre di Banach commutative. La comprensione complessiva degli argomenti richiede e sviluppa varie competenze specifiche di analisi funzionale, algebra e topologia.

La preparazione all'esame come anche le discussioni durante il corso richiedono e stimolano lo sviluppo di capacità comunicative e di descrizione precisa di oggetti astratti, idee e possibili soluzioni e/o variazioni delle problematiche trattate.

Il corso fornisce un esempio di "costruzione di teoria matematica" (la teoria della traformata di Gelfand su algebre di Banach commutative) che sia sufficientemente generale per includere i casi particolari piu' signifcativi ed al contempo sufficientemente ricca e profonda per poter interpretare l'essenza degli oggetti di cui tratta. La capacita' di comprensione di questi due aspetti contrastanti, unita alla capacita' di apprendimento dei dettagli "tecnici" della costruzione stessa, costituisce un elemento indispensabile allo sviluppo di una matura mentalita' matematica.

Il corso si inserisce in modo naturale nell'ambito di una formazione di tipo analitico. Le tematiche trattate relative ad algebre di Banach e gruppi LCA costituiscono tuttavia argomenti di interesse anche per indirizzi di tipo algebrico-geometrico. Inoltre poiche' gran parte degli argomenti trattati formano la base della teoria dei segnali, il corso può essere utilmente inserito anche nell'ambito di indirizzi di carattere applicativo-modellistico.

The purpose of the course is to show how two fundamental tools of Mathematical Analysis and its applications, such as Fourier series and Fourier transform, find an elegant unifying conceptual framework in Abstract Harmonic Analysis. The acquired competencies relate to the learning and the use of some tipical methods for Harmonic Analysis.
 
The course introduces the basic tools of modern harmonic analysis and Fourier analysis from a general point of view. In particular, the course is spread over three levels: Fourier analysis in R^d, harmonic analysis on L^1(G) where G is a LCA topological group, and finally an introduction to the spectral theory of commutative Banach algebras. The overall understanding of the topics requires and develops various skills specific of functional analysis, algebra and topology.
 
 
The exam preparation as well as the discussions during the course require and stimulate the development of non-trivial communication skills aimed at the precise description of abstract objects, ideas and possible solutions and/or changes in the addressed issues.
 
The course provides an example of "the construction of a mathematical theory" (the theory of Gelfand transform of commutative Banach algebras) that is sufficiently general to include signifcative special cases, and at the same time sufficiently rich and deep to be able to interpret the essence the objects it deals with. The awareness of these two contrasting aspects, combined with the ability to understand the technical details of the mathematical building itself, is an essential element in the development of a mature mathematical mentality.

The course is natural part of the usual back-ground for scolar routes in mathematical analysis. Subjects like Banach algebras and LCA groups are however of interest also for more algebraic-geometric oriented routes. Furthemore, as much of the content is the basis of modern signal theory, the course can also be profitably included in more application oriented routes. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Il corso porta all'apprendimento critico degli strumenti, degli oggetti matematici e dei metodi usualmente utilizzati nell’Analisi Armonica e di Fourier. Una buona assimilazione di questi concetti permette allo studente di comprendere ed affrontare varie problematiche relative agli attuali sviluppi del settore anche in connessione con altri settori della matematica quali ad esempio l'analisi armonica non commutativa, la teoria delle algebre di operatori e, da lato piu' applicativo, l'analisi tempo-frequenza di segnali.

The course leads to a critical learning of the tipical tools of Harmonic and Fourier Analysis. This permits to the student to furhter approach some of the most modern and active reasearch areas in mathematics, namely, non-commutative analysis, operator algebras, time-frequecy analysis.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto tramite lezioni frontali in cui notevole peso assume la componente interattiva tra docente e studenti.

 

The course is given through traditional teacher-led lessons where strong relevance is attributed to the interactive duscussion between theacher and students.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale: La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Non ci sono domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.
Oral text: theory and proofs presented in the corse will be required, no exercise will be required.

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Programma

-       Algebre di Banach, Trasformata di Gelfand;

-       Gruppi localmente compatti;

-       Duale di un gruppo localmente compatto,

-       Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti.

-       Banach Algebras, Gelfand Transform;

-       Locally Compact Groups;

-       Dual of a Locally Compact Group,

-       Fourier Transform on Locally Compact Groups.

Testi consigliati e bibliografia

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- G. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press 1995.

- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, Wiley 1990

 

- G. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press 1995.

- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, Wiley 1990

 



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Orario lezioni

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Note

ANALISI ARMONICA E DI FOURIER, MFN0419 (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (Caratterizzante), Ambito formazione teorica-avanzata. Modalità di verifica/esame: L'esame consiste di un colloquio orale sugli argomenti svolti a lezione. NOTA: verranno concordate le date d'esame per mail individualmente, entro le sessioni d'esami, indipendentemente dal calendario ufficiale .

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Ultimo aggiornamento: 21/06/2017 15:52

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