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Oggetto:
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Analisi Superiore

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Advanced Analysis

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Anno accademico 2019/2020

Codice dell'attività didattica
MFN0426
Docenti
Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili.

Classical integral and differential calculus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una trattazione della trasformata di Fourier, con applicazioni a diversi spazi funzionali, di approfondire il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue. Vengono introdotti gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz.  Si definiscono i moltiplicatori di Fourier e si studiano le loro principali proprietà, con applicazione ai problemi di Cauchy per l'equazione di Schrödinger, del calore e delle onde. Il corso si propone inoltre di trattare la classe delle funzioni assolutamente continue, il calcolo differenziale in spazi di Banach e le nozioni fondamentali relative agli spazi di Sobolev, con applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari e nonlineari.

 

The course aims to study  the Fourier transformation on the Schwartz class and its dual space of tempered distribution, to deepen the properties  of the convolution product on various function and distribution spaces. Locally convex topological vector spaces  are also studied, in particular the Fréchet spaces, treating the fundamental example of the Schwartz class. Fourier multipliers are introduced and studied on different function spaces, with application to Schrödinger , heat and wave equations.

The course provides the basic concepts of the theory of absolutely continuous functions, of the differential calculus in Banach spaces, of the theory of Sobolev spaces and it provides some applications to the study of linear and nonlinear boundary value problems.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier, degli spazi topologici localmente convessi, della classe di Schwartz e del suo duale topologico, dei moltiplicatori di Fourier e di alcune applicazioni  alle equazioni alle derivate parziali. Conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach e delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

Knowledge of Fourier analysis, locally convex topological vector spaces, Schwartz class, tempered distributions, Fourier multipliers, with applications to partial differential equations. Knowledge of differential calculus in Banach spaces and of the theory of Sobolev spaces

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Modalità di insegnamento

Lezioni in aula.
Lessons in the classroom

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Il voto è espresso in trentesimi.

Emergenza Coronavirus: gli esami della sessione estiva (giugno-luglio) si svolgeranno in forma orale online, via webex. Lo studente deve collegarsi con un pc munito di webcam.

Inoltre, si richiede allo studente di iscriversi normalmente all'esame su Esse3 e poi  contattare i docenti via email per l'orario effettivo del collegamento. Lo studente con programma da 6 CFU dovrà anche comunicare ai docenti quali moduli vorrà portare al colloquio orale.

 

 

The exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the course. There may be questions that require the execution of exercises. The score is expressed as x/30.

Coronavirus emergency: the exams of the summer session (June-July) will take place orally online, via webex. The student must connect with a PC equipped with a webcam.

In addition, the student is required to register normally for the exam on Esse3 and then contact the teachers via email for the actual connection time. The student with a 6 CFU program will also have to communicate to the teachers which modules they want to bring to the oral interview.

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Programma

Modulo A (prof. E. Cordero)  16 ore = 2 cfu

- Spazi vettoriali topologici localmente convessi, spazi di Fréchet

- La classe di Schwartz: proprietà principali, relazioni con gli spazi di Lebesgue

- Lo spazio delle distribuzioni temperate: proprietà principali

- Azione della trasformata di Fourier sulla classe di Schwartz e sullo spazio delle distribuzioni temperate (duale topologico)

- Approfondimento sul prodotto di convoluzione nelli spazi di Lebesgue: la disuguaglianza di Young, casi particolari

 

Modulo B (prof. S. Terracini)  16 ore = 2 cfu

- Introduzione agli spazi di Sobolev in più variabili: 

- definizione, principali proprietà, densità delle funzioni regolari, estensione

- teoremi di immersione, Disuguaglianza di Poincaré, Disuguaglianze di Sobolev (cenni)

- Risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo -div(grad u)=f con condizioni nulle al bordo
 

Modulo C (prof. A. Capietto)  16 ore = 2 cfu

- Funzioni assolutamente continue

- Lo spazio di Sobolev $H^1(]0,1[)$

- Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni, teorema della media, teorema di inversione locale

 

 

Module A (prof. E. Cordero)  16 hours = 2 cfu

- Locally compact topological vector spaces. Fréchet spaces

- The Schwartz class: main properties, relations with Lebesgue spaces

- The space of tempered distributions: main properties

- Action of the Fourier transform on the Schwartz class and on its dual space of tempered distributions

- Young's convolution inequality, special cases

 

 

Module B (prof. S. Terracini)  16 hours = 2 cfu

- An introduction to Sobolev spaces in several variables

- Definition, main properties, density of regular functions, extension

- Immersion theorems, Poincaré inequality, Sobolev inequalities (hints)

-Resolution of the homogeneous Dirichlet problem -div (grad u) = f with zero boundary conditions

 

Module C (prof. A. Capietto)  16 hours = 2 cfu

- Absolutely continuous functions 

-  The Sobolev space $H^1(]0,1[)$

- Differential calculus in Banach spaces: definitions, mean value theorem, local inversion theorem

Testi consigliati e bibliografia

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- Dispense fornite dai docenti

- G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

- H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

- L.C. Evans Partial Differential Equations, American Mathematical Society

- A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

- Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale 

- Notes of teachers

- G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

- H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

- A. Ambrosetti - G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis. Cambridge University Press 1993

- Kolmogorov-Fomin: Elements of the theory of functions and functional analysis 

 

 



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Orario lezioni

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Note

E' consentito, previa autorizzazione di tutte le docenti titolari del corso da richiedere entro gennaio 2020, ottenere i 6 cfu di questo corso utilizzando il (o parte del) programma del corso di 9 cfu. Senza previa autorizzazione gli studenti saranno esaminati sul programma del corso di 6 cfu.

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Ultimo aggiornamento: 08/05/2020 15:32