Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Analisi Superiore

Oggetto:

Advanced Analysis

Oggetto:

Anno accademico 2021/2022

Codice dell'attività didattica
MAT0181
Docenti
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili. Analisi funzionale.

Classical integral and differential calculus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions. Functional Analysis.

Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti una trattazione sistematica dei principali spazi funzionali ed operazioni interne ad essi che formano gli strumenti indispensabili per la trattazione moderna degli operatori differenziali lineari e non lineari. Verrà introdotta la trasformata di Fourier ed approfondito il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue. Vengono introdotti gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz.  Si definiscono i moltiplicatori di Fourier e si studiano le loro principali proprietà, con applicazione ai problemi di Cauchy per l'equazione di Schrödinger, del calore e delle onde. L'insegnamento si propone inoltre di trattare la classe delle funzioni assolutamente continue, il calcolo differenziale in spazi di Banach e le nozioni fondamentali relative agli spazi di Sobolev, con applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari e nonlineari.

Il corso è adatto sia ad un percorso mirato specificatamente all'analisi matematica, sia a percorsi mirati a disciipline in cui gli operatori differenziali abbiano importanti applicazioni, quali la geometria differenziale, l'analisi su varietà e la relatività.

L'insegnamento viene erogato sia nella versione da 6CFU che in una da 9CFU.

The course aims to provide students with a systematic treatment of the main functional spaces and internal operations that form the indispensable tools for the modern treatment of linear and non-linear differential operators. After infroducing the Fourier transform on the Schwartz class and its dual space of tempered distribution, we will deepen the properties  of the convolution product on various function and distribution spaces. Locally convex topological vector spaces  are also studied, in particular the Fréchet spaces, treating the fundamental example of the Schwartz class. Fourier multipliers are introduced and studied on different function spaces, with application to Schrödinger , heat and wave equations.

The teaching provides the basic concepts of the theory of absolutely continuous functions, of the differential calculus in Banach spaces, of the theory of Sobolev spaces and it provides some applications to the study of linear and nonlinear boundary value problems.

The course is suitable for both a program specifically targeted to mathematical analysis, and for programs targeted to subjects where differential operators have relevant applications, such as differential geometry, variety analysis and relativity.

Teaching is provided in both the 6CFU and 9CFU versions.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier, degli spazi topologici localmente convessi, della classe di Schwartz e del suo duale topologico, dei moltiplicatori di Fourier e di alcune applicazioni  alle equazioni alle derivate parziali. Conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach e delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.

Knowledge of Fourier analysis, locally convex topological vector spaces, Schwartz class, tempered distributions, Fourier multipliers, with applications to partial differential equations. Knowledge of differential calculus in Banach spaces and of the theory of Sobolev spaces

Oggetto:

Modalità di insegnamento

   

Le lezioni si terranno in presenza ed in streaming.  Per i links ai collegamenti si rimanda alla pagina moodle dell'insegnamento.

Per ogni informazione si faccia riferimento alla pagina moodle dell'insegnamento. Si raccomanda di consultare frequentemente la pagina moodle dell'insegnamento, sulla quale saranno pubblicate eventuali modifiche delle modalità di erogazione dell'insegnamento dovute all'emergenza Covid.

Si ricorda agli studenti che devono registrarsi all'insegnamento tramite la pagina campusnet dell'insegnamento. Gli studenti registrati riceveranno una password con la quale potranno accedere alla pagina moodle dell'insegnamento.

 

 

 

 

The lectures will be in presence with synchronous online streaming.  You can find the webex links on the moodle page.

For any information, please refer to the teaching's moodle page.
It is recommended that you frequently consult the teaching's moodle page,
on which any changes to the teaching delivery methods due to the Covid
emergency will be published.

Students are reminded that they must register for the teaching via
the teaching campusnet page. Registered students will
receive a password for the access to the moodle page of the teaching.

 

 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nell'insegnamento. Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Il voto è espresso in trentesimi.

 

The exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the teaching. There may be questions that require the execution of exercises. The score is expressed as x/30.

 

Oggetto:

Programma

Modulo A (prof. E. Cordero)  16 ore = 2 cfu

- Spazi vettoriali topologici localmente convessi, spazi di Fréchet

- La classe di Schwartz: proprietà principali, relazioni con gli spazi di Lebesgue

- Lo spazio delle distribuzioni temperate: proprietà principali

- Azione della trasformata di Fourier sulla classe di Schwartz e sullo spazio delle distribuzioni temperate (duale topologico)

- Approfondimento sul prodotto di convoluzione nelli spazi di Lebesgue: la disuguaglianza di Young, casi particolari

 

Modulo B (prof. S. Terracini)  24 ore = 3 cfu

  • Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni, teorema della media, teorema di inversione locale
  • Introduzione agli spazi di Sobolev in una e più variabili, funzioni assolutamente continue 
  • definizione, principali proprietà, densità delle funzioni regolari, estensione
  • teoremi di immersione, Disuguaglianza di Poincaré, Disuguaglianze di Sobolev (cenni)
  • Risoluzione del problema di Dirichlet omogeneo -div(grad u)=f con condizioni nulle al bordo e principio di Dirichlet

Module A (prof. E. Cordero)  16 hours = 3 cfu

- Locally compact topological vector spaces. Fréchet spaces

- The Schwartz class: main properties, relations with Lebesgue spaces

- The space of tempered distributions: main properties

- Action of the Fourier transform on the Schwartz class and on its dual space of tempered distributions

- Young's convolution inequality, special cases

 

 

Module B (prof. S. Terracini)  24 hours = 3 cfu

  • Differential calculus in Banach spaces: definitions, mean value theorem, local inversion theorem
  • An introduction to Sobolev spaces in one and several variables, absolutely continuous functions
  • Definition, main properties, density of regular functions, extension
  • Immersion theorems, Poincaré inequality, Sobolev inequalities (hints)
  • Resolution of the homogeneous Dirichlet problem -div (grad u) = f with zero boundary conditions

 

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

- G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

- H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

- L.C. Evans Partial Differential Equations, American Mathematical Society

- A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993

- Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale 

- G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999

- H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori

- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society

- A. Ambrosetti - G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis. Cambridge University Press 1993

- Kolmogorov-Fomin: Elements of the theory of functions and functional analysis 

 

 



Oggetto:

Orario lezioni

Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 30/09/2021 12:36