- Oggetto:
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Analisi Superiore
- Oggetto:
Advanced Analysis
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Anno accademico 2018/2019
- Codice dell'attività didattica
- MFN1413
- Docenti
- Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Dott. Alberto Boscaggin (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Calcolo differenziale e integrale classico.
Teoria dell'integrazione di Lebesgue; spazi di Lebesgue di funzioni sommabili.Classical integral and differential calcuslus.
Lebesgue integration theory. Lebesgue spaces of summable functions. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti una trattazione della trasformata di Fourier, con applicazioni a diversi spazi funzionali, di approfondire il prodotto di convoluzione sugli spazi di Lebesgue, di costruire famiglie di funzioni che approssimano l'identità di tale prodotto. Vengono inoltre studiati gli spazi topologici localmente convessi, in particolare gli spazi di Fréchet, trattando l'esempio fondamentale della classe di Schwartz. Si introducono le proprietà fondamentali della trasformata di Laplace, con applicazione alle equazioni differenziali. Il corso si propone inoltre di trattare la classe delle funzioni assolutamente continue e BV, il calcolo differenziale in spazi di Banach e le nozioni fondamentali relative agli spazi di Sobolev, con applicazioni allo studio di problemi ai limiti lineari e nonlineari.
The course aims to give to students knowledge of the Fourier transform, with applications in various functional spaces, of convolution product on the space of Lebesgue, to build families of functions which approximate the identity of that product. Topological spaces locally convex are also studied, in particular the spaces of Fréchet, treating the fundamental example of the class of Schwartz. We introduce the basic properties of the Laplace transform, with applications to differential equations. The course aims eventually to give students basic concepts of the theory of absolutely continuous and bounded variation functions, of the differential calculus in Banach spaces, of the theory of Sobolev spaces and to provide some applications to the study of linear and nonlinear boundary value problems.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, i risultati attesi dell'insegnamenti sono conoscenza degli strumenti classici dell'analisi di Fourier e di Laplace, con applicazioni agli spazi di Lebesgue e alle equazioni differenziali, la conoscenza del calcolo differenziale in spazi di Banach, della classe delle funzioni assolutamente continue e BV e delle proprietà fondamentali degli spazi di Sobolev e di alcune applicazioni a problemi ai limiti.Knowledge of Fourier analysis, AC and BV functions, differential calculus in Banach spaces, theory of Sobolev spaces- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezioni in aula.Lessons in classroom.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci possono essere domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Il voto è espresso in trentesimi. Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in inglese.The exam consists of questions related to the theory and proofs expounded throughout the course. There may be questions that require the execution of exercises. The score is expressed as x/30. Foreign students can take the exam in English.- Oggetto:
Programma
- La trasformata di Fourier
- Proprietà della trasformata di Fourier sugli spazi di Lebesgue
- Principali proprietà ed operazioni su spazi di Lebesgue
- Spazi vettoriali topologici, spazi di Fréchet, la classe di Schwartz, azione della trasformata di Fourier su tale classe e relazioni con gli spazi di Lebesgue
- La trasformata di Laplace
- Funzioni assolutamente continue e funzioni BV
- Calcolo differenziale in spazi di Banach: definizioni, teorema della media, teorema di inversione locale
- Breve introduzione agli spazi di Sobolev: definizione, principali proprietà, immersioni; ulteriori proprietà di funzioni di Sobolev
- Alcuni problemi ai limiti ellittici.
- The Fourier transform
- Action of the Fourier transform on Lebesgue spaces
- Main properties of Lebesgue spaces
- Topological vector spaces. Fréchet spaces. The Schwartz class, action of the Fourier transform on the Schwartz class and relations with Lebesgue spaces
- The Laplace transform
- Absolutely continuous functions and functions of bounded variation
- Differential calculus in Banach spaces: definitions, mean value theorem, local inversion theorem
- Sobolev spaces: definition, main properties, embeddings; further properties of Sobolev functions
- Some elliptic boundary value problems
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
1) Dispense fornite dai docenti
2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999
3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori
4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society
5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993
6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale
1) Notes of teachers
2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J. Wiley, 1999
3) H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori
4) L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society
5) A. Ambrosetti - G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press, 1993
6) Kolmogorov-Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale
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Orario lezioni
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