- Oggetto:
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Analisi su Varietà
- Oggetto:
Analysis on manifolds
- Oggetto:
Anno accademico 2020/2021
- Codice dell'attività didattica
- MAT0167
- Docenti
- Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
MAT/07 - fisica matematica - Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Gli studenti devono avere familiarità con l'algebra lineare, il calcolo differenziale e integrale per le funzioni di due o più variabili, gli integrali superficiali e di volume, le convenzioni di Einstein, i fondamenti delle equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali e i fondamenti di geometria differenziale.Participants should be familiar with linear algebra, differential and integral calculus for functions in two or more variables, surface and volume integrals, Einstein summation convention, basics of ordinary and partial differential equations, and basics of differential geometry.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
L'insegnamento tratta lo studio di operatori differenziali globlali sulle varietà e le tecniche matematiche usate in questo ambito. Questo include in particolare i concetti fondamentali della teoria degli spazi funzionali usati in questo contesto ed elementi della teoria degli operatori pseudo-differenziali.
Subject of the course is the study of global differential operators on smooth manifolds, and mathematical techniques used in this connection. This includes, in particular, basic concepts from the theory of function spaces used in this context as well as elements of the theory of pseudo-differential operators.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento, lo studente dovrà avere imparato alcuni concetti fondamentali per l'analisi delle equazioni differenziali a derivate parziali sulle varietà differenziabili e il problema di Cauchy per le equazioni di Einstein. Lo studente potrà quindi continuare autonomamente lo studio nel campo delle equazioni differenziali a derivate parziali.
At the end of the course, participants will have learned some basic concepts for the analysis of partial differential equations on smooth manifolds and the Cauchy problem for Einstein equations. This will put them in the position to presume autonomously further studies in the field of partial differential equations.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento prevede 48 ore di lezione, divise in due parti di 24 ore ciascuna.
La prima parte si concentra sugli aspetti relativi alle equazioni di Einstein, la seconda su aspetti analitici delle equazioni differenziali su varietà.
A causa del permanere dello stato di allerta sanitario Covid-19, le lezioni saranno fruibili a distanza. Se le condizioni lo permetteranno, parte delle attività potranno essere svolte anche in presenza.
Lectures for a total of 48 hours, divided in two parts of 24 hours each, one focusing on Einstein equations, the other on analytical aspects of differential equations on manifolds.
The course will take place in lecture rooms using black board and possibly overhead projectors and other multi-media tools.
In view of the health safety alert due to the Covid-19 pandemic, it will be possibile to access the lectures from remote. If conditions will allow it, part of the activities will take place also in presence.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
Un esame orale al termine delle lezioni in cui lo studente esporrà un seminario di circa 60 minuti su argomenti trattati a lezione e concordati con i docenti. Lo studente dovrà mostrare abilità nel presentare l'argomento in modo conciso, chiaramente strutturato e matematicamente corretto. Il voto dell'esame è espresso in trentesimi.
In periodo di emergenza sanitaria Covid-19 l'esame si svolgerà tramite collegamento telematico. Consisterà sempre nello svolgimento di una prova orale, come descritto sopra.
One oral examination after the end of the course. For this examination the student will give a talk of about 60 minutes on a topic treated in the course and agreed on with the instructors. The student must demonstrate his ability to present this argument in a concise, clearly structured, and mathematically correct way. The score of the exam is expressed in thirtieths.
During the medical emergency due to the Covid-19 pandemic, the examination will be held through a web connection. It will still consist of a talk, as described above.
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Attività di supporto
All'inizio dell'insegnamento gli studenti e gli insegnanti discuteranno l'esigenza di organizzare attività addizionale di tutoraggio per aiutare a colmare eventuali lacune sugli argomenti elencati come prerequisiti.
In the beginning of the course participants and instructors will discuss the need of organizing additional tutorial classes to help participants to meet the required prerequisites.
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Programma
Varietà differenziali e coordinate locali
I fibrati tangenti e dei getti, campi vettoriali e flussi
Sistemi di equazioni differenziali a derivate parziali su varietà
Simbolo principale di operatori differenziali
Spazi funzionali e distribuzioni su varietà
Operatori pseudodifferenziali su varietà
Ellitticità e sue conseguenze
Smooth manifolds and local coordinates
Tangent bundle and jet bundle of a manifold, vector fields and flows
Systems of partial differential equations on manifolds
The principal symbol of a differential operator
Function spaces and distributions on manifolds
Pseudodifferential operators on manifolds
Ellipticity and its consequences
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, 1983-85.
X. Saint Raymond, Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, CRC Press, 1991.
H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218
L. Fatibene, M. Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003
Thomas W. Baumgarte, Bowdoin College, MaineStuart L. Shapiro, Numerical Relativity. Solving Einstein's Equations on the Computer. University of Illinois, Urbana-Champaign
https://sites.google.com/site/lorenzofatibene/my-links/libro-version-1-0-0/book
L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, 1983-85.
de Rham, Varietes differentiables: Formes, courants, formes harmoniques, Hermann, 1973.
B. Pini, Terzo corso di analisi matematica: Cap. 1 Operatori lineari negli spazi L^p, CLUEB, 1994.
X. Saint Raymond, Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, CRC Press, 1991.
H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218
L. Fatibene, M. Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003
Thomas W. Baumgarte, Bowdoin College, MaineStuart L. Shapiro, Numerical Relativity. Solving Einstein's Equations on the Computer. University of Illinois, Urbana-Champaign
https://sites.google.com/site/lorenzofatibene/my-links/libro-version-1-0-0/book
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Orario lezioni
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Note
Le lezioni saranno tenute in italiano a meno che almeno uno studente straniero ne faccia richiesta, nel qual caso queste saranno tenute in inglese. Il materiale usato a lezione è di norma in inglese. Su richiesta l'esame può essere tenuto in inglese.
The course will be held in Italian, unless the presence of foreign students requires use of English. Most, if not all, the material used during the course is in English. On request, the examination can be given in English.- Oggetto:
