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EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche

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EDS-STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

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Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
MFN1648 (coorte 2019) - MAT0188 (coorte 2020)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Inglese
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
I corsi di Probabilità e Analisi della laurea triennale.
Courses of Probability and Analysis of the three-year degree.
Mutuato da
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di mettere l'allievo nelle condizioni di poter comprendere la formulazione matematica di vari modelli delle scienze applicate e della Matematica Finanziaria in cui intervengono le equazioni differenziali stocastiche. Il corso utilizza alcuni concetti e strumenti che sono sviluppati nei corsi di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità e Istituzioni di Analisi Matematica e che vengono brevemente richiamati nelle prime lezioni; oltre a questo si utilizzano strumenti della matematica di base appresi nella laurea triennale. Le dimostrazioni dei risultati principali del corso vengono svolte completamente. Esse mostrano importanti legami esistenti tra l'Analisi e la Probabilita'.  Per migliorare le capacita'  di approfondimento  il docente propone la lettura di alcuni articoli scientifici.    Insieme al corso di Processi Stocastici fornisce competenze per avvicinarsi alla ricerca in contesti stocastici. Il corso fornisce anche concetti introduttivi per l'avviamento alla ricerca nel campo delle equazioni paraboliche di Kolmogorov.

 

The course aims to put the student in a position to understand the mathematical formulation of various models of applied sciences and financial mathematics which involve stochastic differential equations. The course uses some of the concepts and tools that are developed in the course of Advanced Probability (Istituzioni di Calcolo delle Probabilita') and Elements of Functional Analysis and Measure Theory (Istituzioni di Analisi Matematica) and which are briefly mentioned in the first lectures. The proofs of the main results of the course are carried out completely. They show important links between Analysis and Probability. To improve the skills of reading and  study  the teacher proposes the reading of some scientific articles.    Together with the course of Stochastic Processes it suggests an approach to the research in stochastic environments. The course also provides basic concepts on parabolic equations of Kolmogorov type.

  

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza dell'integrale stocastico e dei metodi fondamentali nello studio delle equazioni differenziali stocastiche. Conoscenza dei legami tra le equazioni differenziali stocastiche e le equazioni paraboliche di Kolmogorov. Capacità di applicare le equazioni differenziali stocastiche a problemi  delle scienze applicate.

Knowledge of the stochastic integral and the stochastic differential equations. Knowledge of the relations between stochastic differential equations and Kolmogorov equations. Ability to apply stochastic differential equations to solve problems in applied sciences.

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Modalità di insegnamento

Lezioni in aula.

 

Lessons in the classroom.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale. Sono previste domande sul programma (teoria ed esempi). Vedere anche il file Informazioni in materiale didattico. 
Oral examination. Questions on the program (theory and examples).  

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Programma

-  Richiami di calcolo delle probabilità. Misure Gaussiane multidimensionali.

- Moto Browniano (costruzione con le funzioni di Haar;  proprietà    di regolarità delle traiettorie); misura di Wiener.

- Stime L^p di Doob per martingale con traiettorie continue

- Integrale stocastico secondo Ito (principali proprietà e confronto con l'integrale di Riemann-Stieltjes)

- Formula di Ito e  sue applicazioni

- Equazioni differenziali stocastiche (teoremi di esistenza e unicità)

- Proprietà di Markov delle soluzioni di equazioni stocastiche e legami  con le equazioni paraboliche di Kolmogorov

- Possibili applicazioni delle equazioni stocastiche alla matematica finanziaria e alla dinamica delle popolazioni

-  Reminder of basic notions  of  probability theory. Multidimensional Gaussian measures.

-  Brownian motion  (its construction by means of Haar functions; regularity properties of trajectories); the Wiener measure

- The Doob L^p estimates for martingales with continuous paths.

- The Ito stochastic  integral  (basic properties; comparison between the stochastic integral and the  Riemann-Stieltjes integral)

- The Ito formula and its applications

- Stochastic differential equations (existence and uniqueness theorems)

- Markov property of solutions of stochastic differential equations; connections between  stochastic differential equations and parabolic Kolmogorov equations

- Possible applications of  stochastic differential equations  to Mathematical Finance and Population Dynamics 

Testi consigliati e bibliografia

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P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Ed., Bologna, 2000.

Appunti del docente.

I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York, Second Edition, 1991.

Arnold, L., Stochastic Differential Equations, Theory and Applications, New York. John Wiley & Sons. 1974

I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York, Second Edition, 1991.

P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Ed., Bologna, 2000.

Arnold, L., Stochastic Differential Equations, Theory and Applications, New York. John Wiley & Sons. 1974

Lecture notes by the teacher



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Orario lezioni

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Note

Per il materiale didattico e altre informazioni fare riferimento a STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS (MAT0044)

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Ultimo aggiornamento: 28/07/2020 10:51

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