- Oggetto:
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TI-Teoria degli Insiemi
- Oggetto:
ST-SET THEORY
- Oggetto:
Anno accademico 2017/2018
- Codice dell'attività didattica
- MFN1665
- Docente
- Prof. Alessandro Andretta (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/01 - logica matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Inglese
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
istituzioni di logica (non è necessario aver sostenuto l'esame ma è richiesta familiarità con i contenuti di questo corso) - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di mostrare come lo studio della teoria degli insiemi permetta di sviluppare sofisticate tecniche per dimostrare l'indecidibilità di certe tipologie di problemi matematici che sorgono in modo naturale in diversi campi della matematica, tra cui le parti più astratte dell'analisi e della topologia.The goal of the course is to show how set theory allows us to obtain efficient techniques to prove the undecidability of certain problems which arisess in various fields of mathematics, including the most abstract parts of analysis and topology- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
L’allievo dovrà essere in grado di mostrare padronanza tecnica degli aspetti di base dei vari argomenti trattati tra cui: le proprietà di base dell' universo degli insiemi, la teoria dei modelli booleani, gli insiemi costruibili, il forcing, l'indecidibilità del problema del continuo.The student should be able to master the various aspects of the arguments presented among which: the basic features of the universe of sets, the theory of boolean valued models, the constructible sets, the forcing method, the undecidability of the continuum problem- Oggetto:
Modalità di insegnamento
lezioni frontaliLectures- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
esame oraleoral exam- Oggetto:
Programma
1) Sviluppo sistematico dell e nozioni di base della teoria degli insiemi in ZFC: Ordinali, cardinali e loro aritmetica, ricorsione transfinita.
2) Algebre di Boole: nozioni di base, teoremi di rappresentazione per algebre di Boole (algebre di Boole come famiglia dei clopen di spazi topologici 0-dimensionali, algebre di Boole complete come famiglie di aperti regolari di spazi topologici di Hausdorff), esistenza ed unicità del completamento booleano di un ordine parziale, dualità tra categoria delle algebre di Boole con omomorfismi e categoria degli spazi compatti zero dimensionali con omomorfismi.
3) Combinatoria infinita: Delta-system lemma (assioma di Martin e sue applicazioni - tempo permettendo......).
4) Metamatematica della teoria degli insiemi: il principio di riflessione, assolutezza,
definibilità, teoria dei modelli in ZFC.
5) Cenni sulla Costruibilità.
6) Forcing:
a) modelli booleani: definizioni, semantica e sintassi,
b) primi esempi (tempo permettendo....): spazi di funzioni (L^{\infty}(\mathbb{R}), C(\mathbb{R}), etc...) come esempi di modelli booleani,
c) il modello booleano V^{B} di ZFC: costruzione e proprietà di base
d) teorema del forcing per modelli booleani di ZFC
e) consistenza di ZFC+CH e ZFC+\neg CH.1) Systematic development of set theory within ZFC: Ordinals, cardinals and their arithmetic, transfinite recursion.
2) Boolean algebras: basic notions, representation theorems for boolean algebras (boolean algebras as families of clopen sets of 0-dimensional topological spaces, complete boolean algebras complete as families of regular open sets in topological Hausdorff spaces),
existence and uniqueness of the boolean completion of a partial order,
duality betwen the category of boolean algebras with homomorphism and the category
of compact 0-dimensional topological spaces with continuous functions.
3) Infinitary combinatorics: Delta-system Lemma. (Martin's axiom and its applications - time permitting).
4) Metamathematics of set theory, the reflection principle, absoluteness, definability,
model theoretic constructions in ZFC.
5) A brief account on construnctibility.
6) Forcing:
a) boolean models: definitions and basic properties of their semantics and syntax,
b) some examples (time permitting....): functions spaces (L^{\infty}(\mathbb{R}), C(\mathbb{R}), etc...) seen as examples of boolean models,
c) the boolean model V^{B} for ZFC: its construction and its basic properties proprietà di base
d) forcing theorem for boolean models of ZFC
e) consistency proofs of ZFC+CH and ZFC+\neg CH.Testi consigliati e bibliografia
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- K. Kunen, Set theory, College Publications per i punti 1,4,5 of the program, distribuiremo delle dispense per i punti 2,3,6K. Kunen, Set theory, College Publications for what concerns items 1,4,5 of the program, we shall distribute notes for what concerns items 2,3,6
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Orario lezioni
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