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Topologia Algebrica

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Algebraic Topology

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Anno accademico 2017/2018

Codice dell'attività didattica
MFN0576
Docente
Prof. Cristiana Bertolin (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
Anno
1° anno 2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Inglese
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti
Concetti di base di topologia generale: funzioni continue, omeomorfismi, topologia quoziente.

Concetti di base di algebra: gruppi, azioni di gruppi su insiemi, anelli, moduli su anelli commutativi.

I prerequisiti sono trattati nei corsi di algebra e geometria della laurea triennale; in particolare, le parti di topologia dei corsi di Geometria 2 e Geometria 3. Gli studenti che hanno seguito Geometria 4 sono facilitati.

Basic concepts of point set topology: continuous functions, homeomorphisms, quotient topology.

Basic concepts of algebra: groups, group actions on sets, rings, modules over commutative rings.

All the prerequisites are covered in the undergraduate courses in Geometry and Algebra, in particular in Geometria 2 and Geometria 3. Students who have taken Geometria 4 may be better prepared for this class.

Propedeutico a
Il corso può essere utile per chi vuole seguire Geometria Superiore e Geometria Algebrica.

The course may be useful for "Geometria Superiore" and "Geometria Algebrica"

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle tecniche algebriche in topologia quali l'omotopia, l'omologia e la coomologia. Queste conoscenze sono essenziali in geometria e utili in diverse altre discipline quali la fisica matematica e l'analisi su varietà differenziabili.

La struttura teorica del corso consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di media difficoltà nel campo della topologia algebrica.

In particolare, l'insegnamento prevede:

  • obiettivi formativi teorici:  abitudine all'uso di un  linguaggio matematico rigoroso; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia algebrica e alle sue applicazioni ad altre parti della matematica;
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo in un contesto astratto; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare dimostrazioni simili a quelle viste a lezione.

The course aims to provide students with basic knowledge on techniques in algebraic topology such as homotopy, homology and cohomology. This knowledge is essential in geometry and useful in other disciplines such as mathematical physics and analysis on manifolds.

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of algebraic topology.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: consistent use of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to algebraic topology and its application to other parts of Mathematics;
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques in an abstract situation to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in class.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:

  • avere padronanza delle tecniche proprie della topologia algebrica
  • aver compreso il significato geometrico e topologico di tali tecniche
  • avere la capacità di applicare quanto appreso in esempi specifici.

At the end of the course the student is expected to:

  • understand the techniques of algebraic topology
  • understand the geometric and topological significance of such techniques
  • have the ability to apply what has been learned in specific examples.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto nel primo semestre e consiste in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.

Il corso potrà essere tenuto in italiano se 

nessuno studente straniero chiede il corso in ingleseE

- la maggioranza di studenti italiani chiede il corso in italiano.

The course is taught in the first semester and consists of 48 hours (6 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.

The course may be taught in Italian if:

- no Erasmus student asks for the course in English, AND

- the majority of italian students ask for the course in Italian

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi (scelti in una lista comunicata alla fine del corso e disponibili sulla pagina Moodle del corso).

The oral examination consists of questions related to the theory and demonstrations presented during the course. There will be questions that require the solution of exercises (chosen in a list announced at the end of the course and available on the Moodle page of the course).

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Attività di supporto

Saranno assegnati periodicamente agli studenti degli esercizi da risolvere, che saranno poi corretti/discussi in aula, con la collaborazione degli studenti stessi.

Homework problems will be assigned regularly. The solutions to these problems will be discussed during class and presented by the students themselves.

 

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Programma

Richiami su gruppo fondamentale, categorie e funtori, azioni di gruppo.

Rivestimenti topologici, relazioni tra rivestimenti e gruppo fondamentale.

Algebra omologica. Omologia simpliciale, omologia singolare e sue proprietà omotopiche, successione di Mayer-Vietoris, omologia relativa e escissione. Omologia cellulare.

Coomologia e dualità.

 

Review on the fundamental group, categories and functors, group actions.

Topological coverings and relations with the fundamental group.

Homological algebra. Simplicial homology, singular homology and homotopy properties, Mayer-Vietoris sequence, relative homology and excision. Cellular homology.

Singular cohomology. Duality.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Il programma del corso è standard e vi sono molti testi introduttivi di topologia algebrica. Il testo che verrà seguito è:

Daniel Tanré, Yves Félix, Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010

Può risultare anche utile consultare:

C. KOSNIOWSKI, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988.

W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.

A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.

M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.

J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.

The course follows a standard syllabus and there are many introductory textbooks in algebraic topology. The main textbook will be:

Daniel Tanré, Yves Félix, Topologie algébrique. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010

Other useful books are:

C. KOSNIOWSKI, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 1980.

W. FULTON, Algebraic Topology - A First Course, Springer, 1995.

A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.

M. GREENBERG & J. HARPER, Algebraic Topology - A First Course, Perseus Publishing, 1981.

J. LEE, Introduction to Topological Manifolds, second edition, Springer, 2011.

Topologie algébrique Cours et exercices corrigés
Autore: Daniel Tanré, Yves Félix
Casa editrice: Dunod
ISBN: 9782100533732
Url: http://www.dunod.com/sciences-techniques/sciences-fondamentales/mathematiques/master-et-doctorat-capes-agreg/topologie-algebrique



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 16/03/2018 12:07

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