- Oggetto:
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Equazioni Differenziali e Analisi Non Lineare (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
DIFFERENTIAL EQUATIONS AND NONLINEAR ANALYSIS
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN1650
- Docenti
- Prof. Anna Capietto
Prof. Enrico Priola - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
- Aver seguito Istituzioni di Analisi Matematica.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti alcuni metodi e risultati utili nello studio delle equazioni differenziali nonlineari. Tali metodi sono illustrati con numerosi esempi.
INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione. Il corso, rivisitando anche argomenti di base, come quello di derivata, a un livello più astratto, permette di rafforzare le conoscenze di base (obiettivo 1) mentre si sviluppa un nuovo livello di astrazione (obiettivo 3). I testi utilizzati permettono di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2). Il corso fornisce conoscenze matematiche specialistiche (obiettivo 5) che rappresentano uno strumento fondamentale per l'avviamento alla ricerca nell'ambito dell'Analisi Matematica (obiettivo 9).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Il corso, introducendo nuovi e importanti concetti, accresce la capacità dello studente di riconoscere nuovi problemi in nuovi contesti (obiettivo 1) e di comprendere nuovi problemi riconoscendone gli aspetti essenziali (obiettivo 2). Ovviamente, essendo un corso basato su dimostrazioni di teoremi, accresce la capacità dello studente di sostenere ragionamenti matematici (obiettivo 3), di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici non immediatamente collegabili a quelli già conosciuti (obiettivo 5), di formulare e risolvere problemi anche complessi in diversi campi della matematica (obiettivo 6), di formulare problemi complessi ottimizzandone la soluzione e interpretandola nel contesto del problema originale (obiettivo 9).
Autonomia di giudizio. La natura del corso richiede lo sforzo dello studente per migliorare le sue capacità di argomentazione logiche nel riconoscere l’importanza delle ipotesi per il raggiungimento delle conclusioni. Lo studente dovrà abituarsi a riconoscere errori o l’incompletezza delle ipotesi in dimostrazioni (obiettivi 1,2). I suggerimenti sugli sviluppi successivi degli argomenti trattati favoriranno l’iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell’affrontare nuove problematiche (obiettivo 7).
Abilità comunicative. L’esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento. Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di una mentalità matematica rigorosa, utile per studi di livello superiore (obiettivo 2).
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Risultati dell'apprendimento attesi
Saper discutere il metodo di monotonia di Browder-Minty. Saper discutere l’esistenza di soluzioni di problemi ai limiti associati a equazioni differenziali nonlineari.
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Programma
Parte I) Un'introduzione al metodo di monotonia di Browder-MintyII.1) Complementi sugli spazi di Sobolev in una dimensione. Funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue ([Br], [KF], [ADM])
II.2) Teorema del punto fisso di Brouwer. Mappe monotone. Teorema di Browder-Minty ([RR]).
II.3) Applicazione del teorema di Browder-Minty ad equazioni differenziali non lineari (esempio del p-Laplaciano in una dimensione; [RR], [AP]).
Parte II) Introduzione all'analisi nonlineare. Problemi ai limiti.
II.1) Teoria spettrale elementare. Problemi ai limiti associati a equazioni differenziali del secondo ordine. Alternativa di Fredholm ([Br],[Ha],[Ne]).
II.2) Applicazioni del teorema delle contrazioni a problemi ai limiti nonlineari. Teorema del punto fisso di Schauder e applicazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]). Teorema di Ascoli-Arzelà ([PSV]). Teorema di Peano per il Problema di Cauchy ([Ne]).
II.3) Calcolo differenziale in spazi di Banach. Teorema della funzione implicita in spazi di Banach e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP],[Da]).
II.4) Introduzione alla teoria della biforcazione; condizioni necessarie e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP]).
Part I) An introduction to the monotonicity Minty-Browder methodII.1) Complements on Sobolev spaces in one dimension. Absolutely continuous functions and the fundamental theorem of calculus for Lebesgue integral ([Br], [KF], [ADM])
II.2) The Brouwer fixed point theorem. Monotene mappings. The Browder-Minty theorem ([RR]).
II.3) An application of the Browder-Minty theorem to non-linear differential equations (example of p-Laplacian in one dimension; [RR], [AP]).
Part II) An introduction to nonlinear analysis. Boundary value problems.
II.1) Elementary spectral theory. Boundary value problems associated to second order differential equations. Fredholm alternative ([Br],[Ha],[Ne]).
II.2) Applications of the contraction theorem to nonlinear BVPs. Schauder fixed point theorem and applications to nonlinear BVPs ([Ha]). Ascoli-Arzelà theorem ([PSV]). Peano theorem for the Cauchy problem ([Ne]).
II.3) Differential calculus in Banach spaces. Implicit function theorem in Banach spaces and applications to nonlinear boundary value problems. ([AP],[Da]).
II.4) Introduction to bifurcation theory and applications to nonlinear boundary value problems ([AP]).
Testi consigliati e bibliografia
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[ADM] Ambrosio-Da Prato-Mennucci: Introduction to Measure Theory and Integration
[AP] Ambrosetti-Prodi: A primer of Nonlinear Analysis, Cambridge Studies in Advanced Mathematics.
[Br] Brézis: Analyse fonctionnelle, Masson.
[Da] Dambrosio: Teorema della funzione implicita locale e applicazioni, dispensa.
[Ha] Habets: Equations différentielles: problèmes aux limites et théorie hilbertienne, dispense.
[KF] Kolmogorov-Fomin: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis.
[Ne] Negro, Quaderno di Analisi Funzionale, dispensa.
[PSV] Piccinini-Stampacchia-Vidossich: Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.
[RR] Renardy-Roger, An Introduction to Partial Differential Equations.
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Note
ATTENZIONE: IL CORSO NON SARA' ATTIVATO NELL'A.A. 2014-15. SARA' NUOVAMENTE ATTIVATO NELL'A.A. 2015-16.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI E ANALISI NON LINEARE, MFN1650, (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, TAF C (Affine), Ambito attività affini o integrative.
PROPEDEUTICITA': E' indispensabile aver seguito Istituzioni di Analisi Matematica. Gli argomenti di questo corso sono differenti da quelli del corso "Equazioni Differenziali" (Laurea Triennale) e non vi è propedeuticità.
ORARIO DI RICEVIMENTO: contattare per mail o telefono i docenti.
MODALITA' DI VERIFICA/ESAME: prova orale sugli argomenti svolti nel corso. Relativamente alla seconda parte del corso, all'esame sara' richiesto lo svolgimento di uno degli esercizi assegnati.
Alla pagina moodle del corso (a.a. 2011-2012) sono disponibili i files pdf delle lezioni ed i relativi files mp3 del corso tenuto nell'a.a. 2011-2012 (parte della prof. Capietto).
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