- Oggetto:
- Oggetto:
Istituzioni di Geometria
- Oggetto:
Elements of Advanced Geometry
- Oggetto:
Anno accademico 2017/2018
- Codice dell'attività didattica
- MFN0517
- Docenti
- Prof. Marina Marchisio (Titolare del corso)
Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 9
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
Conoscenze di base su: geometria proiettiva, curve e superficie differenziali, funzioni reali di piu' variabili.Basic notions on projective geometry, differential curves and surfaces, real functions in several variables.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati di base riguardanti la geometria algebrica e la geometria differenziale la cui comprensione richiede una critica profonda di concetti e nozioni elementari da un punto di vista più generale e necessariamente astratto, offrendo anche così un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico. La conoscenza di tali risultati fondamentali è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori della matematica teorica che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata. Oltre a distribuire delle note manoscritte per seguire il corso, vengono indicati altri testi, per indurre gli studenti ad una lettura ed un approfondimento personale degli argomenti.
I problemi che vengono proposti periodicamente mirano a migliorare la comprensione e la conoscenza delle tematiche e delle problematiche affrontate nel corso.
Il lavoro richiesto per questo corso è indispensabile per studi di terzo livello nel settore. Il tipo di lavoro svolto risulterà comunque utile a sviluppare una flessibilità di pensiero utile in svariati ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica.The course will give the basic notions on algebraic and differential geometry which require a deep knowledge of concepts and elementary notions from a general and more abstract point of view, offering also in this way an Important example of the methods and the development of mathematical thinking. The knowledge of these concepts is indispensable to motivate latest developments in interdisciplinary topics with respect to sectors of pure mathematics that are currently the subject of advanced research. Some notes about some specific topics will be provided and some text books will be suggested for further studies to induce students to a further personal study of the topics.
The problems and exercises that are proposed periodically aim to improve understanding and the knowledge of the topics.
The work required for this course is necessary for post graduated studies in the field. The type of work will be still useful to develop a flexibility in ,many types of jobs, not even directly related to mathematics.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Teoria generale delle varietà differenziali e algebriche.General teory of differential manifolds and algebraic varieties.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 72 ore di didattica frontale, in lezioni svolte alla lavagna, della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La didattica frontale si costituisce di lezioni teoriche e presentazione di esercizi. La frequenza è facoltativa ma consigliata.The course consists of 72 hours of lectures held at the blackboard. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar. Lectures are mostly about theory with a minor part of exercises. Attendance is non-obligatory, recommended.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modalità di esame: scritto e orale. La prova scritta è costitutita da esercizi e domande di tipo teorico. La prova è valutata in 30simi. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.Examination procedure: written and oral. The written exam consists in exercises and questions about the theory. The oral exam consists in questions about the theory and proofs presented in the course.- Oggetto:
Programma
Basi di Groebner.
Curve algebriche piane.
Elementi di algebra commutativa.
Varietà algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali.
Varietà differenziabili. Partizione dell'unità. Vettori tangenti e spazio tangente. Differenziale tra applicazioni differenziabili tra varietà. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati vettoriali. Varietà parallelizabili. Applicazioni differenziabili di rango costante. Sottovarietà embedded e teorema della funzione inversa. Teoremi della funzione implicita. Campi vettoriali e bracket di Lie. Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno e coomologia di de Rham. Teorema di Stokes. Metriche Riemanniane. Integrazione su varietà Riemanniane.
Groebner basis.
Algebraic plane curves.
Elements of commutative algebra.
Affine and projective algebraic varieties. Morphisms and rational maps.
Differential manifolds. Partition of unity. Tangent vectors and tangent space. Differential of a smooth map between manifolds. Tangent and cotangent bundle. Vector bundles. Parallelizable manifolds. Maps of constant rank. Embedded submanifolds and inverse function theorem. Implicit function theorems. Vector fields and bracket. Tensorial algebra and differential forms. Exterior differential and de rham Cohomology. Stokes Theorem. Riemannian metrics. Integration on Riemannian manifolds.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.
J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.
F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.
D. A. Cox, J. Little, D. Oshea, An introduction to Computattional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989.
T. Aubin, A corse in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003.
M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011.
F. Warner, Foundations of Differential Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971.
D. A. Cox, J. Little, D. Oshea, An introduction to Computattional Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 1989.
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Orario lezioni
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