Laurea magistrale in Matematica

Contenuti del corso di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Sviluppare le abilità per utilizzare i processi di diffusione per rappresentare diverse realtà di interesse applicativo, utilizzando poi le diverse tecniche di studio per effettuare le analisi di tali modelli. Sviluppo di capacità di studio autonomo di argomenti, anche di tipo avanzato, collegati ai contenuti del corso e di capacità di collaborazione e studio in gruppo
INDICATORI DI DUBLINO (cf. Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso utilizza concetti e strumenti introdotti nel corso di Istituzioni di Calcolo delle Probabilità e gli strumenti della matematica di base appresi nella laurea triennale (obiettivo 1). Il corso di Calcolo delle Probabilità 2 della laurea triennale è utile per facilitare alcune esemplificazioni ma non è indispensabile. La presentazione dei problemi e delle teorie avviene a un livello più astratto (obiettivo 3).
Per migliorare le abilità di lettura e di approfondimento (obiettivo 2) il corso prevede l’utilizzo di diversi libri e richiede la lettura di alcuni articoli scientifici. Alcuni articoli hanno carattere storico per consentire di comprendere le motivazioni scientifiche che hanno determinato lo sviluppo teoria stocastica (obiettivo 8). Lo studente si impadronisce di strumenti e concetti utili per la modellizzazione di realtà suggerite da altre scienze (obiettivi 4 e 5). Inoltre, insieme al corso di EDS-Equazioni Differenziali Stocastiche fornisce competenze indispensabili per avvicinarsi alla ricerca in contesti stocastici (obiettivo 9). Alcune esercitazioni, volte alla simulazione di traiettorie di processi stocastici, utilizzano il software Mathematica (obiettivo 6).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti sono continuamente stimolati a riconoscere nuove problematiche, suggerendo soluzioni e l’introduzione di nuove classi di modelli. Gli studenti vengono motivati a individuare nuovi problemi, sia teorici che applicativi, riconoscendone gli aspetti essenziali (obiettivi 1 e 2). Gli studenti sono attivi durante la lezioni, abituandosi a sostenere i loro ragionamenti a sintetizzare problemi complessi e a formulare modelli (obiettivi 3, 5, 6, 8). La semplificazione, necessaria per la formulazione di modelli studiabili matematicamente, permette di imparare ad estrarre informazioni anche qualitative dal modello (obiettivi 8,9,11). Esercitazioni in aula o autonome richiedono l’utilizzo e il miglioramento di capacità computazionali e informatiche (obiettivo 10) mentre la lettura di articoli scientifici, sviluppa ulteriori capacità (obiettivo 13).

Autonomia di giudizio
Il lavoro e le esercitazioni, spesso molto interattive abituano a sostenere ragionamenti con argomentazioni logiche, identificando gli aspetti fondamentali del modello, riconoscendo gli strumenti matematici utili per lo studio o sviluppando opportune metodologie basate su tecniche apprese nel corso (obiettivi 1,2, 5). Parte del lavoro può venir svolto in gruppo e lo studio di gruppo viene spesso sollecitato per approfondimenti (obiettivo 6).
Abilità comunicative
Il corso focalizza soprattutto sulla comunicazione orale, in italiano, limitando la parte scritta alla soluzione di alcuni esercizi (obiettivi 1, 2). La maggioranza dei testi e degli articoli, cosi come alcuni seminari cui gli studenti vengono invitati, sono in lingua Inglese (obiettivo 3)
Capacità di apprendimento
Buone competenze nella teoria dei processi stocastici facilitano studi di terzo livello in ambito matematico o in contesti interdisciplinari (obiettivo 2). La natura dei problemi affrontati nel corso favorisce lo sviluppo di una mentalità flessibile, aperta all’utilizzo di diverse tecniche di studio, analitico, numerico o simulativo (obiettivo 1).

Conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo continuo e per sviluppare modelli di interesse per le applicazioni.

La soluzione degli esercizi distribuiti durante il corso è parte integrante dell'esame che è orale. Gli esercizi possono venir risolti con lavoro di gruppo. Chi non consegnasse gli esercizi assegnati dovrà risolvere degli esercizi prima di sostenere la prova orale.

 

Moto Browniano: caratterizzazione Markoviana, esistenza del moto Browniano; distribuzione del massimo e del tempo di primo passaggio; legge dell’arcoseno, legge del logaritmo iterato; moto Browniano riflesso; relazione del moto Browniano con l’equazione del calore e relativa soluzione; moto Browniano multidimensionale

Processi stazionari. Distanza in media quadratica, processi autoregressivi; teoria ergodica e processi stazionari; processi Gaussiani

Processi di diffusione: equazioni differenziali associate a funzionali del processo; equazioni backward e forward; misure stazionarie; classificazione delle barriere del processo; costruzione di comportamenti sulle barriere; processi di diffusione condizionati;  rappresentazione spettrale della densità di transizione; processi di diffusione e equazioni differenziali stocastiche; processi di diffusione con salti; problemi di primo passaggio per processi di diffusione.

Karlin, Taylor A first Course in Stochastic Processes Academic Press
Karlin, Taylor A second Course in Stochastic Processes Academic Press
Peter Mörters, Yuval Peres Brownian Motion Cambridge University Press