- Oggetto:
- Oggetto:
GC-Geometria Computazionale (non attivato nel 2017/2018)
- Oggetto:
GC-COMPUTATIONAL GEOMETRY
- Oggetto:
Anno accademico 2017/2018
- Codice dell'attività didattica
- MFN1676
- Docente
- Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica (D.M. 270)
- Anno
- 1° anno 2° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Nozioni di base di Algebra e Geometria Algebrica, in particolare l'insegnamento di Istituzioni di Geometria.Fundamentals of Algebra and Algebraic Geometry, in particular the course Advanced Geometry.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso intende introdurre alla teoria e alle tecniche di manipolazione formale dei polinomi, in particolare per quel che riguarda il calcolo di caratteristiche geometriche dell'insieme di soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali. Lo studente dovrà essere in grado di affrontare lo studio di problemi teorici o applicativi che possano essere formulati nel linguaggio della geometria (mediante polinomi, reticoli, politopi, grafi) e di impostarne la soluzione utilizzando tecniche collegate alle basi di Groebner, sia in modo teorico sia mediante l'utilizzo di software specifico.INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso=1214981):
Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding). Il corso introduce gli studenti ad alcuni risultati fondamentali della teoria delle basi di Groebner la cui comprensione richiede una rivisitazione di concetti e nozioni elementari (obiettivo 1) da un punto di vista più generale e necessariamente astratto (obiettivo 3), offrendo in tal modo anche un esempio importante delle metodologie e dello sviluppo del pensiero matematico (obiettivo 4). La conoscenza di tali risultati è indispensabile per motivare sviluppi più recenti in settori specialistici di interesse trasversale rispetto a diversi settori sia della matematica teorica (obiettivo 5) sia dello studio e dell'implementazione di algoritmi esatti (obiettivo 6) che sono correntemente oggetto di ricerca avanzata (obiettivo 9). Oltre ad un testo principale vengono proposti altri volumi in lingua inglese, anche allo scopo di migliorare le capacità di lettura dello studente (obiettivo 2).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). Gli esercizi al computer che vengono proposti periodicamente hanno lo scopo di migliorare la comprensione dei concetti teorici e degli algoritmi sviluppati nel corso e di ampliare la conoscenza di alcune applicazioni pratiche delle basi di Groebner (obiettivi 1,2,3,4,5,6,10).
Autonomia di giudizio (making judgements). L'organizzazione del corso è mirata ad ottenere una generalizzazione di risultati di natura elementare in un ambito più astratto e richiede quindi agli studenti di affinare le capacità logico-deduttive allo scopo di svolgere con chiarezza e precisione ragionamenti complessi, correggendo eventuali errori e colmando lacune (obiettivi 1,2,3). L'assegnazione regolare di esercizi favorirà l'abitudine al lavoro di gruppo da affiancare al lavoro individuale (obiettivo 6). L'ampia letteratura in lingua inglese suggerita favorirà l'iniziativa individuale di approfondimenti, primo stadio per il raggiungimento di autonomia nell'affrontare nuove problematiche (obiettivi 4,7).
Abilità comunicative (communication skills). I testi suggeriti per il corso sono tutti in lingua inglese, abituando lo studente all'uso dell'inglese per comunicazioni scientifiche (obiettivo 1). L'esame orale costringe lo studente a esprimersi in modo matematicamente rigoroso (obiettivo 2).
Capacità di apprendimento (Learning skills). Il lavoro richiesto per questo corso è utile per lo sviluppo di una mentalità flessibile che risulta indispensabile per studi di terzo livello o per inserirsi in ambiti lavorativi, anche non direttamente collegati alla matematica (obiettivi 1,2).
The course aims to introduce the theory and techniques of formal manipulation of polynomials, in particular as regards the calculation of geometrical characteristics of the set of solutions of systems of polynomial equations. The student will be able to approach the study of theoretical or applied problems that can be formulated in the language of geometry (using polynomials, lattices, polytopes, graphs), and set the solution using techniques related to Groebner bases, both in a theoretical framework either through the use of specific software.INDICATORS OF DUBLIN (in reference to the Academic Regulations, European descriptors of the qualification-"Dublin descriptors", http://www.study-in-italy.it/php4/scheda_corso.php?ambiente=googol&anno=2009&corso = 1214981):
Knowledge and understanding. This course introduces students to some fundamental results of the theory of Groebner bases whose understanding requires a review of basic concepts and notions (objective 1) from a more general and necessarily abstract point of view (objective 3), offering thus also an important example of the methodologies and the development of mathematical thinking (objective 4). The knowledge of these results is essential to motivate the most recent developments in specialized fields of interest transverse to different fields of both theoretical mathematics (objective 5) and in the study and implementation of exact algorithms (objective 6), which are currently the object of advanced research (objective 9). In addition to the main text there are also suggested other volumes in English, also in order to improve the reading ability of the student (objective 2).
Applying knowledge and understanding. The computer exercises that are offered periodically aim to improve the understanding of theoretical concepts and algorithms developed in the course and to expand the knowledge of some practical applications of Groebner bases (objectives 1,2,3,4,5,6,10).
Making judgments. The organization of the course is aimed to obtain a generalization of results of basic nature in a more abstract setting and therefore requires students to enhance logical-deductive capabilities in order to perform complex reasoning with clarity and precision, correcting errors and bridging gaps (objectives 1,2,3). The regular assignment of exercises encourage the habit of team work alongside individual work (objective 6). The extensive English-language literature suggested encourage individual initiative of insights, the first stage in order to achieve autonomy in dealing with new problems (objective 4,7).
Communication skills. The suggested texts for the course are all in English, in order to accustom the student to the use of English for scientific communication (objective 1). The oral exam forces the student to express themselves in a mathematically rigorous way (objective 2).
Learning skills. The work required for this course is useful for the development of a flexible mindset that is essential for studies of third level or to fit in work environments, even if not directly related to mathematics (objective 1,2).
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza della struttura dell'anello dei polinomi, determinazione di sistemi di generatori per ideali. Soluzione di sistemi di equazioni polinomiali. Nel caso finito, determinazione del numero e, nel caso reale, della posizione delle soluzioni; nel caso infinito, dimensione della varietà associata. Uso di reticoli e di grafi per lo studio di ideali monomiali o torici.
Knowledge of the structure of the ring of polynomials, determination of systems of generators for ideals. Solution of systems of polynomial equations. In the finite case, determination of the number and, in the real case, the position of the solutions; in the infinite case, the dimension of the associated variety. Use of lattices and graphs for the study of monomial or toric ideals.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento consiste di 48 ore (6 CFU), alcune delle quali in laboratorio per esercitazioni al computer.The course consists of 48 hours (6 CFU), some of them in laboratory for classworks with a computer.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Durante la prova orale ci sarà una discussione dello svolgimento degli esercizi assegnati in itinere durante il corso per le esercitazioni al computer. Il voto finale sarà espresso in trentesimi.The oral exam consists in questions about theory and proofs presented in the course. During the examination it will be a discussion on the solution of the classworks assigned during the course for the computer sessions. The final grade will be out of thirty.- Oggetto:
Programma
Anello di polinomi in una e più indeterminate a coefficienti in un campo e sue proprietà. Ordinamenti monomiali e basi di Groebner. L'algoritmo di Buchberger.
Operazioni sugli ideali e basi di Groebner corrispondenti.
Sistemi di equazioni polinomiali e varietà algebriche. Teoria dell'eliminazione. Calcolo della dimensione di una varietà.
Teoria delle basi di Groebner per i moduli.
Alcune applicazioni: ideali torici e varietà toriche, reticoli e grafi collegati a ideali monomiali.
Uso di software specifico (Maple, CoCoA, SINGULAR, Macaulay2).
Univariate and multivariate polynomial rings over a field. Term orders and Groebner bases. Buchberger's algorithm.
Sum, product, intersection, radical of a polynomial ideal and their Groebner bases.
Systems of polynomial equations and affine varieties. Elimination theory. Explicit computation of the dimension of an algebraic variety.
Groebner Basis Theory for modules.
Some applications: toric ideals and toric varieties, lattices and graphs linked to monomial ideals.
Computation using specific software (Maple, CoCoA, SINGULAR, Macaulay2).
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- - Cox, Little, O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (3rd Ed.), UTM, Springer 2007
- Cox, Little, O'Shea, Using Algebraic Geometry (2nd Ed.), GTM 185, Springer 2005
- Cox, Little, O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (3rd Ed.), UTM, Springer 2007- Cox, Little, O'Shea, Using Algebraic Geometry (2nd Ed.), GTM 185, Springer 2005
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Orario lezioni
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Note
La pagina web dell'insegnamento sarà su moodle e conterrà informazioni più dettagliate, in particolare il diario delle lezioni ed altro materiale relativo alle lezioni. Si invitano gli studenti ad iscriversi al corso moodle per ricevere eventuali avvisi.In caso di sovrapposizioni con altri insegnamenti, il docente è disponibile a cercare un orario soddisfacente per tutti; se ne discuterà alla prima lezione.
The web page of the course will be on moodle and will contain more detailed information, in particular a daily record of the lectures and other material related to the lectures. All students are invited to register to the course on moodle in order to receive any news concerning the course.In case of overlapping courses, the professor is willing to look for a schedule which is satisfying for everybody; we will talk about this at the first lecture.
- Oggetto:
